湖北省部分重点中学2013-2014学年度下学期高二期中考试

数 学 试 卷（理 科）

命题人: 四十九中学 贺勇 审题人:徐义武

本试卷满分150分 答题时间 120分钟

★祝考试顺利★

注意事项:

1.答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。

2．选择题作答：每小题选出答案后，将答案填在答题卡上的对应题号后，答在其他位置无效。

3．填空题和解答题作答：直接答在答题卡上对应的区域内，答在其他位置一律无效，答在对应区域外、填错答题区域均无效。

一.选择题：共10小题，每题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．抛物线
的焦点坐标是( )

A.
B.
C.
D.

2．下面几种推理中是演绎推理的序号为（ ）

A．半径为圆的面积
，则单位圆的面积
；

B．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电；

C．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质；

D．由平面直角坐标系中圆的方程为
，推测空间直角坐标系中球的方程为
．

3.把复数的共轭复数记为
,已知
,则等于( )

A.
B.
C.
D.

4．用数学归纳法证明
（
）时，从“
到
”左边需增乘的代数式为（ ）

A．
B．
C．
D．

5．若
在R上可导,
,则
( )

A.
B.
C.
D.

6．设
，若函数
，
，有大于零的极值点，则（ ）

A、
B、
C、
D、

7. 已知抛物线方程为
，直线
的方程为
，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为
，P到直线
的距离为
，则
的最小值为( )

A．
B．
C．
D．

8．下列不等式对任意的
恒成立的是（ ）

A．
B．
C．
D．

9．椭圆

的一个焦点为
，若椭圆上存在一个点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段
相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为( )

A.
B.
C.
D.

10．定义在
上的单调递减函数
，若
的导函数存在且满足
，则下列不等式成立的是（ ）

A.
B.
C.
D.

二．填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分

11．双曲线
+
=1的离心率
，则
的值为 　　

12．观察下列等式

……

照此规律，第个等式为

13．由曲线
与直线
所围成的平面图形(下图中的阴影部分)的面积是____________;

14．过抛物线
的焦点作直线交抛物线于
两点，线段
的中点
的纵坐标为2，则线段
长为 ．

15．已知函数
的图象经过四个象限，则实数的取值

范围是

三．解答题：本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）已知命题：
，命题：
（
）．

若“
”是“
”的必要而不充分条件，求实数的取值范围．

17．（本小题满分12分）函数

（1）
时，求
最小值；

（2）若
在
是单调减函数，求取值范围．

18．（本小题满分12分）已知四棱锥
，底面
为矩形，侧棱
，其中
，
为侧棱
上的两个三等分点，如下图所示.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求异面直线
与
所成角的余弦值；

（Ⅲ）求二面角
的余弦值.

19．（本小题满分12分）已知圆
的方程为
，定直线
的方程为
．动圆
与圆
外切，且与直线
相切．

（1）求动圆圆心
的轨迹
的方程；

（2）直线
与轨迹
相切于第一象限的点, 过点作直线
的垂线恰好经过点
，并交轨迹
于异于点的点
，求直线
的方程及
的长。

20．（本小题满分13分）如图，椭圆

的焦点在x轴上，左右顶点分别为
，上顶点为B，抛物线
分别以A,B为焦点，其顶点均为坐标原点O，
与
相交于 直线
上一点P.

（1）求椭圆C及抛物线
的方程；

（2）若动直线
与直线OP垂直，且与椭圆C交于不同的两点M,N，已知点
，求
的最小值。

21．（本小题满分14分）已知函数
.

(1) 当
时，讨论
的单调性；

（2）设
,当
若对任意
存在
使
求实数
的取值范围。

2013-2014学年度上学期高二期中考试（理科）(答案)

一. BADBB CDCDA

二. 11.
　 12.

13.
14.
15. （
）

三. 解答题

16.解:

……………3分

……………6分

依题意:

……………8分

……………12分

17. （1）
时

时
时

单减，在
单增

时
有最小值1 ……………………………………………6分

（2）

在
为减函数，则

恒成立，
最小值 ……………………………………9分

令

则

……………………………12分

18．（Ⅰ）证明：连结
交
于，连结
，

，
，

，
，

，
，

. ………………………………4分

（Ⅱ）如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系
，

则
，
，
，
，

，
，
,

,

,

异面直线
与
所成角的余弦值为
. …………………………8分

（Ⅲ）侧棱
,
,

设
的法向量为
,

，并且
,

，令
得
，
,

的一个法向量为
.
, ………12分

由图可知二面角
的大小是锐角,

二面角
大小的余弦值为
. ……………………………12分

19. 解（1）设动圆圆心C的坐标为
，动圆半径为，则

，且
———2分

可得
．

由于圆C1在直线
的上方，所以动圆C的圆心C应该在直线
的上方，所以有
，从而得
，整理得
，即为动圆圆心C的轨迹
的方程． ———5分

（2）如图示，设点P的坐标为
，则切线的斜率为
，可得直线PQ的斜率为
，所以直线PQ的方程为
．由于该直线经过点A（0,6），所以有
，得
．因为点P在第一象限，所以
，点P坐标为（4,2），直线PQ的方程为
． ———9分

把直线PQ的方程与轨迹
的方程联立得
，解得
或4

———12分

20．解：（Ⅰ）由题意，A（，0），B（0，
），故抛物线C1的方程可设为
，C2的方程为
………… 1分

由
得
………… 3分

所以椭圆C:
，抛物线C1：
抛物线C2：
…5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线OP的斜率为
，所以直线
的斜率为

设直线
方程为

由
，整理得

设M（
）、N（
），则

………… 7分

因为动直线
与椭圆C交于不同两点，所以

解得
………… 8分

因为

所以

………… 11分

因为
，所以当
时，
取得最小值

其最小值等于
………… 13分

21. 解（1）
………3分

当
，即
时，此时
的单调性如下：

（0，1）

1

（1，
）



（
）





+

0

_

0

+





增



减



增



当
时，
在(0,1)，（
）上是增函数，

在（1，
）上是减函数。……7分

（2）由（1）知，当
时，
在(0,1)上是增函数，在（1，2）上是减函数.

于是

时，
…………….8分

从而存在

使
）=

……10分

考察
的最小值。

①当
时，
在