江苏省扬州中学2013—2014学年第二学期月考

高二数学试卷 2014.5

一、填空题：

1.已知集合
,则
．

2．命题“
，
”的否定为 ．

3．函数
的定义域为 ．

4.若角的终边过点
，则
= .

5.“
”是复数
为纯虚数的 条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）

6．若曲线
在点P处的切线平行于直线3x-y＝0，则点P的坐标为 .

7．复数
的虚部为 .

8.方程
的解集为 .

9.设
，若
，则
．

10．已知函数
在
上单调递增，则实数的取值范围是 ．

11．在△
中，
所对边分别为、
、．若
，则
．

12． 对于函数
，在使
≥M恒成立的所有常数M中，我们把M中的最大值称为函数
的“下确界”，则函数
的下确界为 .

13．求“方程
的解”有如下解题思路：设
，则
在上单调递减，且
，所以原方程有唯一解
．类比上述解题思路，方程
的解集为　 　．

14．已知偶函数
满足对任意
，均有
且

，若方程
恰有5个实数解，则实数的取值范围是_ ___.

二、解答题：

15.设命题：函数
在区间
上单调递减；命题：函数
的最小值不大于0．如果命题
为真命题，
为假命题，求实数的取值范围．高 考 资 源 网

16．求证：二次函数
的图象与轴交于
的充要条件为
．

17．已知函数

（1）将f(x)写成
的形式，并求其图象对称中心的横坐标；

（2）如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域.

18．如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形．由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设
．

（1）试用表示
的面积；

（2）求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时的大小．

19.设函数
其中
且
.

（1）已知
,求的值；

（2）若在区间
上
恒成立，求的取值范围.

20．函数
在
时取得极小值.

（1）求实数的值；

（2）是否存在区间
，使得
在该区间上的值域为
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.

高二数学月考附加题 5.24

1．求
的展开式中二项式系数最大项．

2．（用空间向量解题）如图,四棱锥
的高为,底面
是边长为
的正方形,顶点
在底面上的射影是正方形
的中心
．是棱
的中点．试求直线
与平面
所成角的正弦值．

3．甲、乙、丙三名音乐爱好者参加某电视台举办的演唱技能海选活动，在本次海选中有合格和不合格两个等级．若海选合格记分，海选不合格记
分．假设甲、乙、丙海选合格的概率分别为
，他们海选合格与不合格是相互独立的．

（1）求在这次海选中，这三名音乐爱好者至少有一名海选合格的概率；

（2）记在这次海选中，甲、乙、丙三名音乐爱好者所得分之和为随机变量
,求随机变量
的分布列和数学期望
．

4. 已知(x＋1)n＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋an(x－1)n，（其中n∈N*）（1）求a0及Sn＝a1＋a2＋···＋an；（2）试比较Sn与(n－2)·2n＋2n2的大小，并说明理由．

高二数学月考参考答案 2014.51.
2.
，
3.
4.
5. 必要不充分 6. （1，0） 7.
8.
9. 2 10.

11.
12.
13.
14.

15.解：p为真命题
f′(x)＝3
－a≤0在[－1,1]上恒成立

a≥3
在[－1,1]上恒成立
a≥3.

q为真命题
Δ＝
－4≥0恒成立
a≤－2或a≥2.

由题意p和q有且只有一个是真命题．

p真q假?
?a∈
；p假q真?
?a≤－2或2≤a<3.

综上所述：a∈(－∞，－2]∪[2,3)．

16.证明：（1）必要性：由
的图象与轴交于
，可知方程
有一个根为1，即
；

（2）充分性：若
，则
，

当
时，
，即函数
的图象过
点．

故函数
的图象与轴交于
点的充要条件为
．

17. (1)

由
=0即

即对称中心的横坐标为

（2）由已知b2=ac

即
的值域为
综上所述，

值域为

18.解：（1）设
为,∴
，

，

,
，

（2）令
，

只需考虑
取到最大值的情况，即为
，

当
, 即
时,
达到最大

此时八角形所覆盖面积的最大值为
．

19.解：（1）
.

（2）

由
得
由题意知
故
，

从而
，故函数
在区间
上单调递增.

①若
则
在区间
上单调递减，所以
在区间
上的最大值为
，即
，解得
，又
，所以
.

②若
则
在区间
上单调递增，所以
在区间
上的最大值为
，
，

解得
，与
联立无解.

综上：
.

20.（1）
，

由题意知
，解得
或
．

当
时，
，

易知
在
上为减函数，在
上为增函数，符合题意；

当
时，
，

易知
在
上为增函数，在
，
上为减函数，不符合题意．

所以，满足条件的
．

（2）因为
，所以
．

① 若
，则
，因为
，所以
．

设
，则
，

所以
在
上为增函数．

由于
，即方程
有唯一解为
．② 若
，则
，即
或
．

（Ⅰ）
时，
，

由①可知不存在满足条件的
．

时，
，两式相除得
．

设
，

则
，

在
递增，在
递减，由
得
，
，

此时
，矛盾．

综上所述，满足条件的
值只有一组，且
．

高二数学月考附加题参考答案

1.解析：展开式中二项式系数最大项是

2.解析：
以
为坐标原点，
为轴，
为轴，
为轴建立空间坐标系。则

所以

设
是平面
的一个法向量，易求得

设
为
与平面
所成的角，因为

所以：

3.解析：（1）记“甲海选合格”为事件Ａ，“乙海选合格”为事件Ｂ，“丙海选合格”为事件Ｃ，“甲、乙、丙至少有一名海选合格”为事件Ｅ．

．

（2）
的所有可能取值为0,1,2,3．
；

；

；

．

所以
的分布列为

0

1

2

3
















．

4.解：（1）取x＝1，则a0＝2n；取x＝2，则a0＋a1＋a2＋···＋an＝3n，∴Sn＝a1＋a2＋···＋an＝3n－2n．（2）要比较Sn与(n－2)·2n＋2n2的大小，即比较：3n与(n－1)2n＋2n2的大小，当n＝1时，3n＞(n－1)2n＋2n2；当n＝2,3时，3n＜(n－1)2n＋2n2；当n＝4,5时，3n＞(n－1)2n＋2n2； 猜想：当n≥4时，3n＞(n－1)2n＋2n2，下面用数学归纳法证明：由上述过程可知，n＝4时结论成立，假设当n＝k(k≥4)时结论成立，即3k＞(k－1)2k＋2k2，两边同乘以3 得：3k+1＞3(k－1)2k＋6k2＝k·2k+1＋2(k＋1)2＋[(k－3)2k＋4k2－4k－2]∵k≥4时，(k－3)2k＞0，4k2－4k－2≥4·42－4·4－2＞0∴(k－3)2k＋4k2－4k－2＞0∴3k+1＞k·2k+1＋2(k＋1)2．即n＝k＋1时结论也成立，∴当n≥4时，3n＞(n－1)2n＋2n2成立。 综上得，当n＝1或n≥4时，3n＞(n－1)2n＋2n2；当n＝2,3时，3n＜(n－1)2n＋2n2．

高二数学月考附加题参考答案

1.解析：展开式中二项式系数最大项是

2.解析：
以
为坐标原点，
为轴，
为轴，
为轴建立空间坐标系。则

所以

设
是平面
的一个法向量，易求得

设
为
与平面
所成的角，因为

所以：

3.解析：（1）记“甲海选合格”为事件Ａ，“乙海选合格”为事件Ｂ，“丙海选合格”为事件Ｃ，“甲、乙、丙至少有一名海选合格”为事件Ｅ．

．

（2）
的所有可能取值为0,1,2,3．

；

；