东台市安丰中学2013-2014学年度第二学期

高二数学期中试卷

分值160分 时间120分钟

命题：徐建华 校核：万元湘

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案直接填空在答题纸相应位置上。）

1、函数
定义域是__ ▲ ；

2、已知复数
，则
= ▲ ；

3、已知命题p:
, 则
为 ▲ （填“真”或“假”）命题；

4、双曲线
的右准线方程为 ▲ ；

5、已知A为函数
图像上一点，在A处的切线平行于直线
，则A点坐标为 ▲ ;

6、(文科)已知不等式
（
）成立的一个充分条件是
，则实数的取值范围是_____▲____;

（理科）将5名实习教师分配到高一年级的4个班实习，每班至少1名，则不同的分配方案有_____▲____种；（用数字作答）

7、已知函数
在
上单调递增，则实数的取值范围是 ▲ ;

8、(文科)关于x的方程
内恰有唯一实数解，则实数的取值范围是▲ ;

（理科）有A、B、C、D、E五位同学参加比赛，决出了第一到第五的名次。A、B两位学生去问成绩，老师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名.请你分析一下，这五位同学的名次排列的种数为 ▲ ；

9、(文科)已知函数
，则不等式
的解集为 ▲ ；

（理科）
的展开式中，若第4r项和第r+2项的二项式系数相等，则r= ▲ ；

10、若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设
是公比为的无穷等比数列，下列
的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第 ▲ 组；

①
；②
；③
；④
.

11、给出下列等式：
，…请从中归纳出第
个等式：
= ▲ ；

12、已知
在点
处的切线方程为
.请类比此结论，在椭圆中也有类似结论：在椭圆
上一点
处的切线方程为 ▲ ；

13、过点
恰可以作曲线
的两条切线，则的值为 ▲ ；

14、
的最大值和最小值的乘积为 ▲ ；

二、解答题：（本大题共6小题，计90分． 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）

15、（本小题14分）、（文科）设：函数
在
内单调递减；：曲线
与轴交于不同的两点．

（1）若为真且为真，求的取值范围；

（2）若与中一个为真一个为假，求的取值范围．

（理科）某医院有内科医生5名，外科医生4名，现要派4名医生参加赈灾医疗队，

（1）一共有多少种选法？

（2）其中某内科医生甲必须参加，某外科医生乙因故不能参加，有几种选法？

（3）内科医生和外科医生都要有人参加，有几种选法？

16、（本小题14分）（文科）已知函数
（
）.

(I)若
的定义域和值域均是
，求实数的值；

(II)若
在区间
上是减函数，且对任意的
，

，总有
，求实数的取值范围.

（理科）记
的展开式中，的系数为
，
的系数为
,其中

(1)求
（2）是否存在常数p,q(p

17、（本小题14分）、（文科）设集合为函数
的定义域,集合为函数
的值域,集合
为不等式
的解集．

（1）求
；

（2）若
,求的取值范围．

（理科）如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱
中，P是侧棱
上的一点，
.

（1）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角为60o；

（2）在线段
上是否存在一个定点
，使得对任意的m，

⊥AP，并证明你的结论.

18、（本小题满分16分）已知函数

（1）求函数
的单调区间；

（2）若函数
的图像与直线
恰有两个交点，求的取值范围．

19、（本小题满分16分）如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路
（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数
）的图象，且点M到边OA距离为
．

（1）当
时，求直路
所在的直线方程；

（2）当t为何值时，地块OABC在直路
不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？

20、（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知F1、F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A、B分别是椭圆E的左、右顶点，且＋5＝0.

(1) 求椭圆E的离心率；

(2) 已知点D(1，0)为线段OF2的中点，M为椭圆E上的动点(异于点A、B)，连结MF1并延长交椭圆E于点N，连结MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连结PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k1、k2，试问是否存在常数λ，使得k1＋λk2＝0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

东台市安丰中学2013-2014学年度第二学期

高二数学期中

参考答案

填空题：

1、
2、
3、假 4、
5、（1,2）

6、
；240 7、
8、
；18

9、4；
10、①④ 11、

12、
13、 0或1或9 14、

二、解答题：

15、（文科）由题意得，
，
---4分

（1）
---7分

（2）
---14分

（理科） （1）
---4分

（2）
---8分

（3）
---14分

16、（文科）（1）因为函数f(x)对称轴为x=a,抛物线开口向上，在 （1，a）上单调递减，

则f(1)=a,f(a)=1,代入解得a=2 ---6分

（2）可得
，显然在区间
最大值应为
，最小值应为

所以
，解得
---14分

（理科）（1）
---4分

（2）可用数学归纳法证明---14分

17、（文科）解：（1）解得A=（-4，2）---2分

B=
---5分

所以
----7分

（2）a的范围为
<0 ---14分

17(理科)【解】（１）建立空间直角坐标系，则

A(1,0,0), B(1,1,0), P(0,1,m)，C(0,1,0), D(0,0,0),

B1(1,1,1), D1(0,0,2).所以

又由
的一个法向量.设
与
所成的角为
，

则
=
，………5分

解得
.故当
时，直线AP与平面
所成角为60o.……7分

（２）若在
上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，

则
.

依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP. 等价于

即Q为
的中点时，满足题设的要求. ……14分

18、解：（1）因为
……2分

令
得

由
时，
在
根的左右的符号如下表所示







































极小值



极大值



极小值





所以
的递增区间为
……6分

的递减区间为
……8分

（2）由（1）得到
，

要使
的图像与直线
恰有两个交点，只要
或
， ……14分

即
或
. ……16分

19、（1）
……6分

（2）
，过切点M的切线

即
，令
得
，故切线
与AB交于点
；

令
，得
，又
在
递减，所以

故切线
与OC交于点
。地块OABC在切线
右上部分区域为直角梯形， ……12分

面积

，等号
，
。 ……16分

20、解：(1) ∵ ＋5＝0，∴ ＝5.∴ a＋c＝5(a－c)，

化简，2a＝3c，故椭圆的离心率e＝＝.(3分)

(2) 存在满足条件的常数λ，λ＝－.

∵ 点D(1，0)为OF2的中点，∴ c＝2，从而a＝3，b＝，左焦点F1(－2，0)，

椭圆E的方程为＋＝1.(5分)

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，

则直线MD的方程为x＝y＋1，

代入椭圆方程＋＝1，整理，得y2＋y－4＝0.(7分)

∵ y1＋y3＝，∴ y3＝.

从而x3＝，故点P.(9分)

同理，点Q.(10分)

∵ 三点M、F1、N共线，∴ ＝，从而x1y2－x2y1＝2(y1－y2)．(12分)

从而k2＝＝＝

＝×＝k1.(15分)

故k1－k2＝0.从而存在满足条件的常数λ，λ＝－.(16分)