湖北省部分重点中学2013-2014学年度下学期高二期中考试

数 学 试 卷（文 科）

命题人: 四十九中学 贺勇 审题人: 高珺

本试卷满分150分 答题时间 120分钟

★祝考试顺利★

注意事项:

1.答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。

2．选择题作答：每小题选出答案后，将答案填在答题卡上的对应题号后，答在其他位置无效。

3．填空题和解答题作答：直接答在答题卡上对应的区域内，答在其他位置一律无效，答在对应区域外、填错答题区域均无效。

一.选择题：共10小题，每题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．抛物线
的焦点坐标是( )

A.
B.
C.
D.

2．若
，则
等于 （ ）

A.
B．

C.
D.

3．已知：
，
，那么下列不等式成立的是（ ）

A．
B．

C．
D．

4．若抛物线
的焦点与双曲线
的右焦点重合，则p的值为（ ）A.
B.
C. D.

5．若
在R上可导,
,则
（ ）

A.
B. C.
D.

6．以抛物线
上的任意一点为圆心作圆与直线
相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是（ ）

A．
B．（2，0） C．（4，0） D．

7．设函数
在定义域内可导,
的图象如下右图所示,则导函数
可能为( )

8．已知抛物线方程为
，直线
的方程为
，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为
，P到直线
的距离为
，则
的最小值为( )

A．
B．
C.
D．

9．椭圆

的一个焦点为
，若椭圆上存在一个点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段
相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为( )

A.
　　B.
　　C.
　　D.

10．设三次函数
的导函数为
，函数
的图象的一部分如下图所示，则( )

A．
极大值为
，极小值为

B．
极大值为
，极小值为

C．
极大值为
，极小值为

D．
极大值为
，极小值为

二．填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分

11．双曲线
+
=1的离心率
，则
的值为 　　

12．点是抛物线
上一点，到该抛物线焦点的距离为，则点的横

坐标为　　　　　　

13．若
，且函数
在
处有极值，则

ab的最大值为

14．已知关于的不等式
的解集是
，则关于的不等式
的解集是 ．

15. 已知
，且
，则
的最小值是_______

16．过抛物线
的焦点作直线交抛物线于
两点，线段
的中点
的纵坐标为2，则线段
长为 ．

17. 若函数
在其定义域的一个子区间
上不是单调函数，则实数
的取值范围_______

三．解答题：本大题共5个小题，共65分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（本小题满分12分）已知函数
．

（1）解不等式
；

（2）若不等式
,
都成立，求实数的取值范围．

19．（本小题满分13分）函数

（1）
时，求
最小值；

（2）若
在
是单调减函数，求取值范围．

20．（本小题满分13分）已知圆
的方程为
，定直线
的方程为
．动圆
与圆
外切，且与直线
相切．

（1）求动圆圆心
的轨迹
的方程；

（2）直线
与轨迹
相切于第一象限的点, 过点作直线
的垂线恰好经过点
，并交轨迹
于异于点的点
，求直线
的方程及
的长。

21．（本小题满分13分）如图，椭圆

的焦点在x轴上，左右顶点分别为
，上顶点为B，抛物线
分别以A,B为焦点，其顶点均为坐标原点O，
与
相交于直线
上一点P.

（1）求椭圆C及抛物线
的方程；

（2）若动直线
与直线OP垂直，且与椭圆C交于不同的两点M,N，已知点
，求
的最小值.

22．（本小题满分14分）已知函数
。

当
时， ①求函数
的单调区间；

②求函数
的图象在点
处的切线方程；

若函数
既有极大值，又有极小值，且当
时，

恒成立，求的取值范围。

2013-2014学年度上学期高二期中考试（文科）(答案)

一. BDDCA BDCAD

二. 11.
　12.３ 13.
14.

15. 9 16.
17.

三.解答题

18. 解：原不等式等价于
或
或

得
或
或

因此不等式的解集为
………………………6分

（2）

……… 12分

19. （1）
时

时
时

单减，在
单增

时
有最小值1 ……………………………………………6分

（2）

在
为减函数，则

恒成立，
最小值 ……………………………………9分

令

则

……………………………13分

20．解（1）设动圆圆心C的坐标为
，动圆半径为，则

，且
———2分

可得
．

由于圆C1在直线
的上方，所以动圆C的圆心C应该在直线
的上方，所以有
，从而得
，整理得
，即为动圆圆心C的轨迹
的方程． ———6分

（2）如图示，设点P的坐标为
，则切线的斜率为
，可得直线PQ的斜率为
，所以直线PQ的方程为
．由于该直线经过点A（0,6），所以有
，得
．因为点P在第一象限，所以
，点P坐标为（4,2），直线PQ的方程为
． ———10分

把直线PQ的方程与轨迹
的方程联立得
，解得
或4

———13分

21．解：（Ⅰ）由题意，A（，0），B（0，
），故抛物线C1的方程可设为
，C2的方程为
………… 1分

由
得
………… 3分

所以椭圆C:
，抛物线C1：
抛物线C2：
…5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线OP的斜率为
，所以直线
的斜率为

设直线
方程为

由
，整理得

设M（
）、N（
），则

………… 7分

因为动直线
与椭圆C交于不同两点，所以

解得
………… 8分

因为

所以

………… 11分

因为
，所以当
时，
取得最小值

其最小值等于
………… 13分

22．解：（1）当
时，
则
，…1分

① 令

，解得x=1或x=3 …………2分

函数的单调递增区间是：

函数的单调递减区间是：（1，3） …………4分

②

，

函数
的图象在点
处的切线方程为
。……………6分

（2）因为函数
既有极大值，又有极小值，则
有两个不同的根，则有
又
……… 8分

令

依题意:
即可

，

,………10分

,又
，

， ………12分

………………13分

的取值范围为
。 ………………14分