甘肃兰州一中2013—2014学年度下学期期末考试

高二数学理试题

说明：本套试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分,考试时间100分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.

第Ⅰ卷（选择题，共40分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，把答案填在答题卡的相应位置上．）

1. 已知随机变量X服从正态分布N(1,4)，且P(0≤X≤2)＝0. 68，则P(X>2)＝(　　)

A．
B．
C．
D．

2.在平面直角坐标系中，曲线C：
经过伸缩变换
后，所得曲线的焦点坐标为（ ）

A．
B．
C．
D．

3.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中纪录的产量
（吨）与相应的生产能耗
（吨）的几组对应数据：

 3

 4

 5

 6





 2.5



 4

 4.5



根据上表提供的数据，求得
关于
的线性回归方程为
，那么表中
的值为 （ ）

A．
B．
C．
D．

4．已知曲线的参数方程为
为参数），则曲线的普通方程为（ ）

A．
B．

C．
D．

5. 若存在实数
使
成立，则实数
的取值范围是（　　）

A.
B.
C.
D.

6.在极坐标系中，圆
的垂直于极轴的两条切线方程分别为 （ ）

A．
和
B．
和

C．
和
D．
和

7.随机变量
的概率分布列规律为
其中
为常数，则
的值为 （ ）

A．
B．
C．
D．

8.在直角坐标系xOy中，直线
的参数方程为(t为参数)．以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4·sin，则直线
和曲线C的公共点有 (　 　)

．0个
．1个
．2个
．无数个

9. 已知
，且
，则
的最小值为 （ ）

．

．

．

．

10.从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为 （ ）

．

．

．

．

第Ⅱ卷（非选择题，共60分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上）

11．若随机变量
，则
.

12. 二项式
的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中常数项为 .

13．在区间
上随机取一个数
，使
成立的概率为 ．

14.如图，以过原点的直线的倾斜角
为参数，则圆
的参数方程为 .

15. 用1、2、3、4、5、6六个数组成没有重复数字的六位数，其中5、6均排在3的同侧，这样的六位数共有 个（用数字作答）．

三、解答题（本大题共5小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

16. （本小题满分6分）在直角坐标系
中，已知点
，曲线
的参数方程为
为参数）.以原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线
的极坐标方程为

（Ⅰ）判断点
与直线
的位置关系，说明理由；

（Ⅱ）设直线
与曲线
的两个交点为
、
，求
的值.

17. （本小题满分8分）设函数

（Ⅰ）若
，解不等式
；

（Ⅱ）若函数
有最小值，求
的取值范围.

18. （本小题满分8分）某校举行综合知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有6次答题的机会，选手累计答对4题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对4题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答题连续两次答错的概率为
（已知甲回答每道题的正确率相同，并且相互之间没有影响）.

（Ⅰ）求选手甲回答一个问题的正确率；

（Ⅱ）求选手甲可以进入决赛的概率.

19. (本大题满分8分) 巴西世界杯足球赛正在如火如荼进行.某人为了了解我校学生“通过电视收看世界杯”是否与性别有关,从全校学生中随机抽取30名学生进行了问卷调查,得到了如下列联表:

男生

女生

合计



 收看

 10







 不收看



 8





合计





 30



已知在这30名同学中随机抽取1人，抽到“通过电视收看世界杯”的学生的概率是
.

(I)请将上面的列联表补充完整,并据此资料分析“通过电视收看世界杯”与性别是否有关?

(II)若从这30名同学中的男同学中随机抽取2人参加一活动,记“通过电视收看世界杯”的人数为X,求X的分布列和均值.

(参考公式：
，
)

 0.100

0.050

0.010





2.706

3.841

6.635





20.（本小题满分10分）已知函数

（Ⅰ）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）当
时，若
在区间
上的最小值为
，其中
是自然对数的底数，

求实数
的取值范围；

参考答案

一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

D

A

A

D

B

D

B

C

D



二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在相应横线上．）

11.
12. 180 13.
14.
为参数） 15. 480

三、解答题（本大题共5小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

16．（本小题满分6分）

解：（Ⅰ）直线
的方程可化为
，即

化为直角坐标方程为
，将点
代人上式满足，

故点
在直线
上. …………………2分

（Ⅱ）直线
的参数方程为
为参数）， …………………3分

曲线
的直角坐标方程为
，

将直线
的参数方程代人曲线
的方程并整理得
，

所以
…………………………6分

17. （本小题满分8分）

解：（Ⅰ）当
时，

当
时，
可化为
，解得
；

当
时，
可化为
，解得
.

综上可得，原不等式的解集为
…………………………4分

（Ⅱ）
………………6分

函数
有最小值的充要条件为
即
………………8分

18. (本大题满分8分)

解：（1）设选手甲答对一个问题的正确率为
，

则
故选手甲回答一个问题的正确率
……………2分

（2）选手甲答了4道题进入决赛的概率为
； ………………3分

选手甲答了5道题进入决赛的概率为
； ……………5分

选手甲答了6道题进入决赛的概率为
； …… …7分

故选手甲可进入决赛的概率
………… …8分

19.（本小题满分8分）

解(Ⅰ)

男生

女生

合计



收看

10

6

16



不收看

6

8

14



合计

16

14

30



由已知数据得:

所以,没有充足的理由认为“通过电视收看世界杯”与性别有关 . …………4分

(Ⅱ)
的可能取值为

，
……6分

所以
的分布列为:

0

1

2














的均值为:
…………………………8分

20.
,

因为
.所以切线方程是
……………3分

(Ⅱ)函数
的定义域是

当
时，

令
得
…………………………5分

当
，所以
在
上的最小值是
，满足条件，于是
；

②当
，即
时，
在
上的最小值是
，不合题意；

③当
，即
时，
在
上单调递减，所以
在
上的最小值是

，不合题意.

综上所述有，
. …………………………………10分