高二数学(理)5月月考试题

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分；满分150分，考试时间120分钟.

第I卷

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．抛物线
的焦点到准线的距离是（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知椭圆
上的一点到椭圆一个焦点的距离为
，则到另一焦点距离为（ ）

A． B．
C．
D．

3．下列命题为真命题的是(　 )

A．若
，则
　　 B．若
，则
　

C．若
，则
　　 D．若
，则

4在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，PA⊥平面ABC，PA=8，则P到BC的距离是（　　）

A.
B.
C.
D.

5．设双曲线的半焦距为，两条准线间的距离为
，且
，那么双曲线的离心率等于（ ）

A． B．
C．
D．

6．三角形ABC周长等于20，面积等于
，则为 （ ）

A． 5 B．7 C． 6 D．8

7． 条件甲：“
”,条件乙：“方程
表示双曲线”，那么甲是乙的（ ）

A.充分不必要条件 　B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

8.曲线
在点（0,0）处的切线与直线
垂直，则实数的值为（ ）

A．2 B．
C．
D．

9.已知
既有极大值又有极小值，则的取值范围为（ ）

A.
B.
C.
D.

10．设函数
在
上的导函数为
,
在
上的导函数为
,若在
上,
恒成立,则称函数
在
上为“凸函数”.已知当
时,
在
上是“凸函数”.则
在
上 ( )

A.既有极大值,也有极小值 B.既有极大值,也有最小值

C.有极大值,没有极小值 D.没有极大值,也没有极小值

第II卷

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）

11．曲线
在点（－1，－3）处的切线方程是________．

12.三角形ABC中，若sin2A=sin2B，判断三角形的形状是________三角形．

13．命题“?x∈R，x2＋ax＋4<0”的否定是 ．

14．y=sin(2x+β)是偶函数，则β=________．

15. 给出下列四个命题：（1）方程
表示双曲线的一部分；

（2）动点到两个定点的距离之和为定长，则动点的轨迹为椭圆；

（3）动点
与点
的距离比它到直线
的距离小1的轨迹方程是
；

（4）若双曲线
的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点
在“上”区域内，则双曲线的离心率的取值范围是
．

其中所有正确命题的序号是 ．

三、解答题：（共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）

16．(本小题满分12分)

在
中，
，
，
.

（I）求
长；

（II）求
的值．

17.(本小题满分12分) 求下列各曲线的标准方程

(Ⅰ)实轴长为12，离心率为
，焦点在x轴上的椭圆；

(Ⅱ)抛物线的焦点是双曲线
的左顶点.

18．（本小题满分12分）

已知函数
，
（
）．

（Ⅰ）若x＝3是
的极值点，求
在
[1，a]上的最小值和最大值；

（Ⅱ）若
在
时是增函数，求实数a的取值范围．

19．（本小题满分12分）

已知四棱锥
的底面为直角梯形，
，
底面
，且
，
，
是
的中点.

（Ⅰ）证明：面
面
；

（Ⅱ）求
与
所成的角的余弦值；

（Ⅲ）（仅理科做）求二面角
的正弦值.

20. （本小题满分13分）

设椭圆
过M
、N
两点，O为坐标原点.

（I）求椭圆E的方程；

（II）若直线
与圆
相切，并且与椭圆E相交于两点A、B，求证：
.

21.（本小题满分14分）

函数
.

（I）若
在其定义域内是增函数，求b的取值范围；

（II）若
，若函数
在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数
的取值范围.

高二理科数学试卷参考答案

一、选择题（共50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

D

D

B

C

B

A

A

D

C





二、填空题（共25分）

题号

11

12

13

14

15



答案

y=x-2

等腰或直角





（1）（3）（4）





三、解答题（共75分）

16.（本小题满分12分）

（Ⅰ）解：在△ABC中，根据正弦定理，

于是AB=
…………………………………………………………6分

（Ⅱ）解：在△ABC中，根据余弦定理，得cosA=

于是 sinA=
…………………………………………………………8分

从而sin2A=2sinAcosA=
,cos2A=cos2A-sin2A=

所以 sin(2A-
)=sin2Acos
-cos2Asin
=
……………………………………12分

17.(本小题满分12分)

解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为
……1分

由已知，
，
……3分

……5分

所以椭圆的标准方程为
.……6分

（Ⅱ）由已知，双曲线的标准方程为
，其左顶点为
……7分

设抛物线的标准方程为
， 其焦点坐标为
，……9分

则
即
所以抛物线的标准方程为
.……12分

18.（本小题满分12分）

(I)
，

由题意得
，则
，……………………………………………………………2分

当
单调递减，当
单调递增 ，……4分

； ………………………………………………………… 5分

. ………………………………………………………… 6分

（II）
，

由题意得，
在
恒成立，即

在
恒成立，………………………………………………………9分

而
…………………………………………………………………………11分

所以，
. …………………………………………………………………………12分

19.（本小题满分12分，文科2个问各6分）

以为坐标原点,
长为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系，则各点坐标为

.

（Ⅰ）证明：因

由题设知
，且
与
是平面
内的两条相交直线，由此得
面
.又
在面
内，故面
⊥面
.………………………………………………4分

（Ⅱ）解：因

……………………………………………7分

所以，AC与PC所成角的余弦值为
…………………………………………………8分

（Ⅲ）解：易知平面ACB的一个法向量
…………………………………9分

设平面MAC的一个法向量
则
，不妨取
………10分

设二面角
的平面角为则
，

则

所以
…………………………………………………………12分

20.（本小题满分13分）

解:（1）因为椭圆E:
（a,b>0）过M（2，
） ，N(
,1)两点,

所以
解得
所以
…………………………………………3分

椭圆E的方程为
…………………………………………4分

（2）设

，由题意得：
……………6分

联立

，

有
………………………………………………………9分

=0 ……12分

…………………………………………………………………………… 13分

21.（本小题满分14分）

（Ⅰ）
，则：
恒成立， ………………………………… 2分
，

（当且仅当
时，即
时，取等号），

……………………………………………………………………… 6分

（II）函数

在[1，3]上恰有两个不同的零点等价于方程
=
，在[1，3]上恰有两个相异实根.

令
……………………………………………… 8分

……………………………………………10分

只需

…………………………………………………………………………12分

故
……………………………………………………14分