考试时间120分钟 满分150分

一、填空题（本大题每题4分，满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸的相应题号的空格内填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分。

1．若直线
经过点
,方向向量为
，则直线
的点方向式方程是_
.

2．若直线

与直线

垂直，则
________.

3．若
（为虚数单位）是关于的方程
的一个根，则的值为 .13

4．与双曲线
有共同的渐近线，且过点
的双曲线方程是________.

5．将函数
的图像绕轴旋转一周所形成的几何体的体积为__________.

6．在东经
圈上有甲、乙两地，它们分别在北纬
与北纬
圈上，地球半径为，则甲、乙两地的球面距离是 .

7．设一个扇形的半径为

，圆心角为
，用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的体积是_________
．

8．已知直线
和直线
，则抛物线
上的动点到直线
和
的距离之和的最小值为___________.

9．已知双曲线方程
，则过点
和双曲线只有一个交点的直线有________条.

10．如图1，一个球形广告气球被一束入射角为
的平行光线照射，其投影是一个最长的弦长为
米的椭圆，则制作这个广告气球至少需要的面料是__________
.

11．设正三棱锥
的高为，侧棱与底面
成
角，则点到侧面
的距离为_______．

12．已知椭圆

的两个焦点为
,以
为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另外两条边，且
，则等于________.
(
不扣分)

13．如图2，在直三棱柱
中，
，
，
，是
上一动点，则
的最小值是__________．

14．在直角坐标平面
中，已知两定点
与
位于动直线
的同侧，设集合

点
与点
到直线
的距离之和等于
，
，则由
中的所有点所组成的图形的面积是_________.

二、选择题（本大题每题5分，满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上写上代号，每题选对得4分，否则一律得零分。

15．过点
且与直线
平行的直线方程是 （ ）

．
．

．
．

16．若
（
是虚数单位），则
的最小值是 （ ）

．
．

．
．

17．动圆
经过点
并且与直线
相切，若动圆
与直线
总有公共点，则圆
的面积 （ ）

．有最大值
．有最小值

．有最小值
．有最小值

18．正方体
的面
内有一点
，满足
,则点
的轨迹是 （
）

．圆的一部分 ．椭圆的一部分
．双曲线的一部分 ．抛物线的一部分

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的相应区域内写出必须的步骤。

19．（本题满分12分）

已知复数满足：
且
是纯虚数，求复数.

解：设

…… 1分

① …… 3分

又
是纯虚数 …… 5分

，且
② …… 7分

解①②可得
或者
…… 11分

或者
…… 12分

20．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知抛物线
．

（1）若直线
与抛物线相交于
两点，求
弦长；

（2）已知
的三个顶点在抛物线上运动.若点在坐标原点，
边过定点
，点
在
上且
，求点
的轨迹方程．

解：（1）
得
，…… 2分

所以
…… 6分

（注：用其他方法也相应给分）

（2）设点
的坐标为
,由
边所在的方程过定点
,

…… 8分

,

所以
, 即
…… 14分

(注:没写
扣1分)

21．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分．

如图3，圆柱的轴截面
为正方形，
、
分别为上、下底面的圆心，为上底面圆周上一点，已知
，圆柱侧面积等于
．

（1）求圆柱的体积
；

（2）求异面直线
与
所成角
的大小．

解：（1）设圆柱的底面半径为，由题意，

．……　2分

． ……　6分

（2）连接
，由于
∥
，

即为异面直线
与
所成角 (或其补角)，…8分

过点作圆柱的母线交下底面于点，连接

由圆柱的性质，得
为直角三角形，四边形
为矩形

，

由
，由等角定理，得

所以

可解得
，

在Rt
中，

由余弦定理，
…　13分

异面直线
与
所成角
．……　14分

22．（本题满分16分）第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分．

定义：我们把椭圆的焦距与长轴的长度之比即
，叫做椭圆的离心率.若两个椭圆的离心率相同，称这两个椭圆相似.

（1）判断椭圆
与椭圆
是否相似？并说明理由；

（2）若椭圆
与椭圆
相似，求的值；

（3）设动直线
与（2）中的椭圆
交于
两点，试探究：在椭圆
上是否存在异于
的定点
，使得直线
的斜率之积为定值？若存在，求出定点
的坐标；若不存在，说明理由.

解：（1）
，相似； ……4分

（2）
； ……8分

（3）设
、
、常数
，
代入
，得
，……10分

代入
，

整理得
，……12分

由
，……14分

得
，
或
，
. ……16分

23．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

已知点
、
为双曲线：
的左、右焦点，过
作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点
，且
，圆的方程是
．

（1）求双曲线的方程；

（2）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为
、
，求
的值；

（3）过圆上任意一点
作圆
的切线交双曲线于、两点，
中点为，求证:
．

解： （1）设
的坐标分别为

因为点
在双曲线
上，所以
，即
，所以

在
中，
，
，所以
……2分

由双曲线的定义可知：

故双曲线
的方程为：
……4分

（2）由条件可知：两条渐近线分别为
……5分

设双曲线
上的点
，设两渐近线的夹角为
，则

则点到两条渐近线的距离分别为
……7分

因为
在双曲线
：
上，所以

又
，

所以

……10分

（3）由题意，即证：
.

设
，切线
的方程为：
……11分

①当
时，切线
的方程代入双曲线
中，化简得：

所以：

又
…13分

所以
……15分

②当
时，易知上述结论也成立． 所以
……16分

综上，
，所以
．……18分

（注：用其他方法也相应给分）