沭阳银河学校2013~2014学年度第二学期高二年级期末考试

数学试卷

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。

1. 已知集合
，则
_________。

2. 如果复数
是实数，则实数
_________。

3. 已知
，则
的值为_________。

4. 若以连续掷两次骰子分别得到的点数
作为点P的横、纵坐标，则点P在直线
上的概率为_________。

5. 已知函数
，则
的值为_________。

6. 执行下边的程序框图，若
，则输出的
_________。

7. 直线
平分圆
的周长，则
__________。

8. 等比数列
的各项均为正数，
，前三项的和为21，则
__________。

9. 已知实数
满足
，若
在
处取得最小值，则此时
__________。

10. 在R上定义运算⊙：
⊙

，则满足
⊙
的实数
的取值范围是__________。

11. 在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，D为斜边BC的中点，则
的值为__________。

12. 已知函数
，则该函数的值域为__________。

13. 把数列
的所有项按照从大到小，左大右小的原则写成如图所示的数表，第
行有
个数，第
行的第
个数（从左数起）记为
，则
可记为__________。

14. 如图放置的边长为1的正三角形PAB沿
轴滚动，设顶点
的纵坐标与横坐标的函数关系式是
，
在其两个相邻零点间的图象与
轴所围区域的面积记为S，则S=__________。

二、解答题：本大题共6小题，共计90分。

解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. （本小题满分14分）

在△ABC中，AB=
，BC=1，
。

（1）求
的值；（2）求
的值。

16. （本小题满分14分）

如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE。

（1）求证：AE⊥平面BCE；

（2）求证：AE∥平面BFD。

17. （本小题满分14分）

如图，在半径为
的
圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A、C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长
，圆柱的体积为
。

（1）写出体积V关于
的函数关系式；

（2）当
为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积V最大？

18. （本小题满分16分）

已知函数
的定义域为（0，
），且
，设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线
和
轴的垂线，垂足分别为M、N。

（1）求
的值；

（2）问：
是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，请说明理由；

（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值。

19. （本小题满分16分）

已知椭圆
的左、右顶点分别A、B，椭圆过点（0，1）且离心率
。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆上异于A，B两点的任意一点P作PH⊥
轴，H为垂足，延长HP到点Q，且PQ=HP，过点B作直线
轴，连结AQ并延长交直线
于点M，N为MB的中点，试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系。

20. （本小题满分16分）

已知等差数列
中，
，令
，数列
的前
项和为
。

（1）求数列
的通项公式；（2）求证：
；

（3）是否存在正整数
，且
，使得
，
，
成等比数列？若存在，求出
的值，若不存在，请说明理由。

高二(文)参考答案

一、填空题：

1.
2. －1 3.
4.
5. 2 6.
7. －5

8. 168 9. （－1，0） 10. （－2，1） 11. 18 12. ［1，2］

13. （10，495） 14.

二、解答题

15. 解：（1）在△ABC中，∵
，∴

由正弦定理得：
，即
，∴
。（7分）

（2）由余弦定理可得：
（舍）。

∴
。（14分）

16. 证明：

（1）AD⊥平面ABE，AE
平面ABE，∴AD⊥AE，

在矩形ABCD中，有AD∥BC，∴BC⊥AE。

∵BF⊥平面ACE，AE
平面ABE，∴BF⊥AE，

又∵BF
BC=B，BF，BC
平面BCE，

∴AE⊥平面BCE。（7分）

（2）设AC
BD=H，连接HF，则H为AC的中点。

∵BF⊥平面ACE，CE
平面ABE，∴BF⊥CE，

又因为AE=EB=BC，所以F为CE上的中点。

在△AEC中，FH为△AEC的中位线，则FH∥AE

又∵AE
平面BFE，而FH
平面BFE

∴AE∥平面BFD。（14分）

17. 解：（1）连结OB，∵
，∴
，

设圆柱底面半径为
，则
，

即
，

所以

其中
。（7分）

（2）由
，得

因此
在（0，
）上是增函数，在（
，30）上是减函数。

所以当
时，V有最大值。（14分）

当且仅当
，即
时取等号，故四边形OMPN面积的最小值
。（16分）

19. 解：（1）因为椭圆经过点（0，1），所以
，又椭圆的离心率
得
，

即
，由
得
，所以
，

故所求椭圆方程为
。（6分）

（2）设
，则
，设
，∵HP=PQ，∴

即
，将
代入
得
，

所以Q点在以O为圆心，2为半径的圆上，即Q点在以AB为直径的圆O上。

又A（－2，0），直线AQ的方程为
，令
，则
，

又B（2，0），N为MB的中点，∴
，
，

∴

，∴
，∴直线QN与圆O相切。（16分）

20. 解：（1）设数列
的公差为
，由
，
。

解得
，
，∴
。（4分）

（2）∵
，
，∴

∴

∴

。（8分）

（3）由（2）知，
，∴
，
，
，

∵
，
，
成等比数列，∴
，即

当
时，
，
，符合题意；

当
时，
，
无正整数解；

当
时，
，
无正整数解；

当
时，
，
无正整数解；

当
时，
，
无正整数解；

当
时，
，则
，而
，

所以，此时不存在正整数
，且
，使得
，
，
成等比数列。

综上，存在正整数
，且
，使得
，
，
成等比数列。（16分）