淄博六中12级高二下学期第一次学分认定考试

（数学理科）

注意事项：

1．答卷前，考生务必用钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题纸和答题卡的相应位置处。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

3．非选择题答案必须写在答题纸相应位置处，不按要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡和答题纸一并收回。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在下列命题中：

①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；

②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；

③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；

④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.

其中正确命题的个数是(　　)

A．0　　　　　 B．1 C．2 D．3

2.下列求导数运算正确的是(　　)

A．(x＋)′＝1＋ B．(log2x)′＝

C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cosx)′＝－2xsinx

3. 若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是(　　)

A．a，a＋b，a－b B．b，a＋b，a－b

C．c，a＋b，a－b D．a＋b，a－b，a＋2b

4. 5名应届毕业生报考三所高校，每人报且仅报一所院校，则不同的报名方法的种数是(　　)

A．35 B．53

C．A D．C

5.曲线y＝x2－2x与直线x＋y＝0所围成的封闭图形的面积为(　　)

A. B. C. D.

6. 正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( )

A．20 　 B．15 　C．12 D．10

7. 二面角α－l－β为60°，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝a，BD＝2a，则CD的长为(　　)

A．2a B.a C．a D.a

8.
的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）

A．-40 　　B．-20 　C．20 　　　D．40

9.当
时，函数
的图象大致是

10.定义在
上的函数
，其导函数是
成立，则

A.
B.

C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5题，每小题5分，共25分

11. 已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则(a＋b)·(a－b)的值为______．

12.f(x)=x(x-c)2在x=2处有最大值，则常数c的值为_________

13.长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为________．

14. 若(1－2x)2 013＝a0＋a1x＋…＋a2 013x2 013(x∈R)，则＋＋…＋的值为____

15.在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f(x)＝ex(x>0)的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是________．

三．解答题

16（本小题12分）.已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．

(1)求以，为边的平行四边形的面积；

(2)若|a|＝，且a分别与，垂直，求向量a的坐标

17（本小题12分）. 已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数的和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992.求(2x－)2n的展开式中，

(1)二项式系数最大的项；

(2)系数的绝对值最大的项．

18（本小题12分）. 如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC＝60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD，∠A1AC＝60°.

(1)证明：BD⊥AA1；

(2)求锐二面角D－A1A－C的平面角的余弦值；

(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．

19（本小题12分）.水库的蓄水量随时间而变化，现用
表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于
的近似函数关系式为

（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以
表示第1月份（
）,同一年内哪几个月份是枯水期？

（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取
计算）.

20（本小题13分）. 已知函数f(x)＝alnx＋bx2图象上点P(1，f(1))处的切线方程为2x－y－3＝0.

(1)求函数y＝f(x)的解析式；

(2)函数g(x)＝f(x)＋m－ln4，若方程g(x)＝0在[，2]上恰有两解，求实数m的取值范围．

21（本小题14分）．已知函数
.

（I）求函数
的单调区间；

（II）若函数
上是减函数，求实数a的最小值；

（III）若
，使
成立，求实数a的取值范围.

淄博六中12级高二下学期第一次学分认定考试

（数学理科答案）

一．选择题：

ABCAA DADBD

二．填空题

11.－13 12.6 13.  14. －1 15.

三．解答题

16.解析：(1)由题意可得：＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，

∴cos 〈，〉＝＝＝＝，…………4分

∴sin 〈，〉＝，∴以，为边的平行四边形的面积

S＝2×||||sin 〈，〉＝14×＝7…………………6分

(2)设a＝(x，y，z)，

由题意得

解得或

∴a＝(1,1,1)，或a＝(－1，－1，－1) …………………12分

17.解析：由题意知，22n－2n＝992，

即(2n－32)(2n＋31)＝0，∴2n＝32，解得n＝5. …………………4分

(1)由二项式系数的性质知，(2x－)10的展开式中第6项的二项式系数最大，即C＝252.

∴T6＝C(2x)5(－)5＝－C·25＝－8 064. …………………6分

(2)设第r＋1项的系数的绝对值最大，

∴Tr＋1＝C·(2x)10－r·(－)r

＝(－1)rC·210－r·x10－2r，

∴，…………………8分

得，即，

解得≤r≤，…………………10分

∵r∈Z，∴r＝3.故系数的绝对值最大的是第4项，

T4＝－C·27·x4＝－15 360x4. …………………12分

18.解：连接BD交AC于O，则BD⊥AC，连接A1O.

在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°，

∴A1O2＝AA＋AO2－2AA1·AOcos 60°＝3，

∴AO2＋A1O2＝A1A2，∴A1O⊥AO，

由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，∴A1O⊥底面ABCD，… 2分

∴以OB、OC、OA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，D(－，0,0)，A1(0,0，)．

(1)由于＝(－2，0,0)，＝(0,1，)，则·＝0×(－2)＋1×0＋×0＝0，∴BD⊥AA1. ………………4分

(2)由于OB⊥平面AA1C1C，

∴平面AA1C1C的法向量n1＝(1,0,0)，设n2⊥平面AA1D，则

设n2＝(x，y，z)，

得到取n2＝(1，，－1)，………………6分

∴cos 〈n1，n2〉＝＝，

∴二面角D－A1A－C的平面角的余弦值是.………………8分

(3)假设在直线CC1上存在点P，使BP∥平面DA1C1，

设＝λ，P(x，y，z)，则(x，y－1，z)＝λ(0,1，)，………………9分

得P(0,1＋λ，λ)，＝(－，1＋λ，λ)．

设n3⊥平面DA1C1，则

设n3＝(x3，y3，z3)，得到

不妨取n3＝(1,0，－1)．………………10分

又∵∥平面DA1C1，则n3·＝0，即－－λ＝0，得λ＝－1，

即点P在C1C的延长线上且使C1C＝CP………………12分

19.解答（1）①当时
，

化简得
，解得
.………2分

②当
时，
,化简得，

解得
.综上得，
,或
.

故知枯水期为1月，2月，3月，4月，11月，12月共6个月。………4分

（2）由（1）知，
的最大值只能在(4,10)内内达到。

由
,…………………6分

令
，解得
（
舍去）。

当
变化时，
与
的变化情况如下表：

(4,8)

8

(8,10)





+

0

-





增函数

极大值

减函数



…………………10分

由上表，
在
时取得最大值
（亿立方米）。…………………11分

故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米。…………………12分

20. (1)∵点P(1，f(1))在切线2x－y－3＝0上，

∴2－f(1)－3＝0，

∴f(1)＝－1，故b＝－1，………………… 2分

又f′(x)＝＋2bx，∴f ′(1)＝a＋2b＝2，∴a＝4，

∴f(x)＝4lnx－x2. …………………4分

(2)g(x)＝4lnx－x2＋m－ln4

由g(x)＝0得：m＝x2－4lnx＋ln4，此方程在[，2]上恰有两解，…………………6分

记h(x)＝x2－4lnx＋ln4，则

h′(x)＝2x－＝＝，…………………8分

由h′(x)＝0得：x＝∈[，2]，

在(，)上，h′(x)<0，h(x)单调递减，

在(，2)上，h′(x)>0，h(x)单调递增，…………………10分

又h()＝＋4＋2ln2，h()＝2－4ln＋2ln2＝2，

h(2)＝4－4ln2＋2ln2＝4－2ln2，

∵h()≥h(2)，∴2

21.解析：由已知函数
的定义域均为
,且
. ……1分

（Ⅰ）函数
,

当
且
时,
;当
时,
.

所以函数
的单调减区间是
,增区间是
. ………………3分

（Ⅱ）因f(x)在
上为减函数，故
在
上恒成立．

所以当
时，
．

又

，

故当
，即
时，
．

所以
于是
，故a的最小值为
． ………………………………6分

（Ⅲ）命题“若
使
成立”等价于

“当
时，有
”．

由（Ⅱ），当
时，
，

．

问题等价于：“当
时，有
”．