2013—2014学年度第二学期高二年级期中考试

(理科)数学试卷

一、选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）

1．已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且
=0.6826，则（X>4）=（ ）

A.0.1588 B.0.1587 C.0.1586 D.0.1585

2．如图所示，已知⊙O的半径为5，两弦AB、CD相交于AB的中点E，且AB＝8，CE∶ED＝4∶9，则圆心到弦CD的距离为(　 　)．　　　　　　　　　　　　　　　　

A. B.

C. D.

3.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分

的概率为（、、
），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则
的最大值为

A．
B．
C．
D．

4．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率P的取值范围是（ ）

A．[0.4,1) B．(0,0.4]

C．(0,0.6] D．[0.6,1)

5..设
的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M-N=240，则展开式
的系数为 （ ）

A．-150 B．150 C．-500 D．500

6．下列正确的个数是（ ）

(1) 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等。

(2) 如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变。

(3)一个样本的方差是s2=
[(x
一3)2+-(X
—3) 2+…+( X
一3) 2]，则这组数据的总和等于60.

(4) 数据
的方差为
，则数据
的方差为

A . 4 B. 3 C .2 D . 1

7．如图所示，在平行四边形
中，AE∶EB＝1∶2，若
＝6cm2，则
为(　 　)．

A．54 cm2 B．24 cm2

C．18 cm2 D．12 cm2

8. 设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是 (　 　)．

A. B. C. D.

9. 如图所示，⊙O的两条弦AD和CB相交于点E，AC和BD的延长线相交于点P，下面结论：

①PA·PC＝PD·PB；②PC·CA＝PB·BD；③CE·CD＝BE·BA；

④PA·CD＝PD·AB.其中正确的有

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

10．对于二项式
有下列四个命题正确的是（ ）

A.展开式中
. B.展开式中非常数项系数和是1.

C.展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；

D.当
时，
除以2000的余数是1

11. 如图所示，P、Q分别在BC和AC上，BP∶CP＝2∶5，CQ∶QA＝3∶4，则(　 　)．

A．3∶14 B．14∶3 C．17∶3 D．17∶14

12．若一个三位正整数
满足
，则称这样的三位数

为凸数， 则所有的三位凸数的个数是

A.240 B.204 C.729 D.920

二、填空题（每题5分，共20分。把答案填在题中横线上）

13.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，

∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1的夹

角是

14.已知函数f(x)＝在[1，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是

15.如图阴影部分是由曲线y＝，y2＝x与直线x＝2，y＝0围成，则其面积为________．

16．已知 F1 、F2是椭圆
的两个焦点，椭圆上存在一点P，使得
，则该椭圆的离心率的取值范围是 。

三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. （本题满分10分）某班从6名班干部(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加学校的

义务劳动．

(1) 求男生甲或女生乙被选中的概率

(2)；设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(A|B)．

18.（本题满分12分）如图,⊙
的直径
的延长线与弦
的延长线相交于点,为⊙O上一点,弧AE等于弧AC,
交
于点,且
,求
的长度.

19.（本题12分）“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患.某调查机构为了解路人对“中国式过马路 ”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路 ”的路人的概率是
.得到了如下列联表：

男性

女性

合计



反感

 10







不反感



8





合计





30





(Ⅰ)请将上面的列联表补充完整（在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料分析是否有百分之九十五以上的把握认为反感“中国式过马路 ”与性别是否有关？

(Ⅱ）若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为X，求X的分布列和数学期望.附表

P(K2≥k)

0.050

0.010

0.001



k

3.841

6.635

10.828



20.（本题满分12分）如图,是以
为直径的⊙O上一点,
于点,过点作⊙O的切线,与
的延长线相交于点
是
的中点,连结
并延长与
相交于点,延长
与
的延长线相交于点.

(1)求证:
；

(2) 若
, 求
的长.

21. （本题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，)、(0，－)的距离之和等于4.设点P的轨迹为C.

(1)写出C的方程；

(2)设直线y＝kx＋1与C交于A、B两点，k为何值时⊥？此时||的值是多少？

22．(本题满分14分)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋1(a∈R)．

(1)若函数y＝f(x)在区间上递增，在区间上递减，求a的值；

(2)当x∈[0,1]时，设函数y＝f(x)图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，若给定常数a∈，求
的取值范围；

(3)在(1)的条件下，是否存在实数m，使得函数g(x)＝x4－5x3＋(2－m)x2＋1(m∈R)的图象与函数y＝f(x)的图象恰有三个交点．若存在，求实数m的取值范围；若不存在，试说明理由．

高二期中理科数学答案

一选择题 BADBB ACDAD AB

二、填空题 13.600 14. a≥e 15. ＋ln2_ 16.

三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（以下评分标准仅供参考）

17. 解　(1)设“甲、乙都不被选中”为事件C，

则P(C)＝＝＝， ∴所求概率为P()＝1－P(C)＝1－＝. --------5分

(2)P(B)＝＝＝， P(AB)＝＝， ∴P(A|B)＝＝. ------------10分

18. 解：连结
,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件弧
可得
,又
,

,从而
,

故

,∴
,

由割线定理知
,故
. ----------12分

19.解（Ⅰ）

男性

女性

合计



反感

10

6

16



不反感

6

8

14



合计

16

14

30



……………3分

由已知数据得：
，

所以，没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关. ………6分

（Ⅱ）
的可能取值为

……………9分

所以
的分布列为：

0

1

2














的数学期望为：
……………12分

20. (1)证明：
是
的直径，
是
的切线，

．又
，
．

易证
，
．

．

．

是
的中点，
．

． ------------------6分

(2)证明：连结
．
是圆
的直径，
．

在
中，由（1），知是斜边
的中点，

．
．又
，
．

是
的切线，
．

，
是
的切线．

所以
所以
-----------12分

21. 解：(1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，－)，(0，)为焦点，长半轴为a＝2的椭圆，它的短半轴b＝＝1，

故曲线C的方程为x2＋＝1. ----------4分

(2)由

消去y并整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，

Δ＝(2k)2－4×(k2＋4)×(－3)＝16(k2＋3)>0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝－，x1x2＝－. ----------6分

由⊥，得x1x2＋y1y2＝0.

而y1y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，

于是x1x2＋y1y2＝－－－＋1＝.

由＝0，得k＝±，此时⊥. ------------10分

当k＝±时，x1＋x2＝?，x1x2＝－.

||＝＝，

而(x2－x1)2＝(x2＋x1)2－4x1x2

＝＋4×＝，

所以||＝. ----------12分

22． [解析]　(1)依题意f′＝0，

由f′(x)＝－3x2＋2ax，得－32＋2a·＝0，即a＝1. -----------2分

(2)当x∈[0,1]时，tanθ＝f′(x)＝－3x2＋2ax＝－32＋.

由a∈，得∈.

①当∈，即a∈时，f′(x)max＝，

f(x)min＝f′(0)＝0.

此时0≤tanθ≤. ------------5分

②当∈(1，＋∞)，即a∈(3，＋∞)时，f′(x)max＝f′(1)＝2a－3，f′(x)min＝f′(0)＝0，

此时，0≤tanθ≤2a－3.

又∵θ∈[0，π)，∴当3时，0≤tanθ≤2a－3

--------------8分

(3)函数y＝f(x)与g(x)＝x4－5x3＋(2－m)x2＋1(m∈R)的图象恰有3个交点，等价于方程－x3＋x2＋1＝x4－5x3＋(2－m)x2＋1恰有3个不等实根，

∴x4－4x3＋(1－m)x2＝0，

显然x＝0是其中一个根(二重根)，

方程x2－4x＋(1－m)＝0有两个非零不等实根，则



∴m>－3且m≠1

故当m>－3且m≠1时，函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象恰有3个交点． -----12分