高二年级春学期期中学情调研

数学试题(文科)

一、填空题

1．若集合
，则
= ▲ .

2．已知函数
，则满足
的x的取值范围是 ▲ .

3．已知
，则
= ▲ .

4．已知复数
（为虚数单位），则
▲ .

5．下列结论中正确命题的个数是 ▲ .

①命题
“
”的否定形式是
；

②若
是的必要条件，则是
的充分条件；

③“
”是“
”的充分不必要条件.

6．已知
与
的图象在
处有相同的切线，

则
= ▲ .

7．根据如图所示的流程图，则输出的结果T为 ▲ .

8．如图是一个求50名学生数学平均分的程序，在横线上应填的语句为 ▲ .

第7题图 第8题图

9．将容量为n的样本数据分成6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组的数据的频率之比为2:3:4:6:4:1，且前三组数据的频数之和等于27，则n= ▲ .

10．袋中装有大小相同的总数为5的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率是
，则至少得到1个白球的概率是 ▲ .

11．在区间
和
上分别取一个数，记为和，则方程
，表示焦点在y轴上的椭圆的概率是 ▲ .

12．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：

学生

1号

2号

3号

4号

5号



甲班

6

7

7

8

7



乙班

6

7

6

7

9



 则以上数据的方差中较小的一个
▲ .

13．如果关于x的不等式
和
的解集分别为
和
，那么称这两个不等式为对偶不等式. 如果不等式
与不等式
为对偶不等式，且
，则
▲ .

14．已知椭圆E的左右焦点分别F1，F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P、Q两点，若△PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为 ▲ .

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15．（本题满分14分）先后抛掷一枚骰子，得到的点数分别记为
，按以下程序进行运算：

（1）若
，求程序运行后计算机输出的y的值；

（2）若“输出y的值是3”为事件A，求事件A发生的概率.

16．（本题满分14分）某校高三有四个班，某次数学测试后，学校随机地在各班抽取部分学生进行测试成绩统计，各班被抽取的学生人数恰好成等差数列，人数最少的班被抽取了22人. 抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图所示，其中120~130（包括120分但不包括130分）的频率为0.05，此分数段的人数为5人.

（1）问各班被抽取的学生人数各为多少人？

（2）求平均成绩；

（3）在抽取的所有学生中，任取一名学生，求分数不低于90分的概率.

17．（本题满分15分）已知中心在原点的椭圆C:
的一个焦点为

为椭圆C上一点，△MOF2的面积为
.

（1）求椭圆C的方程；

（2）是否存在平行于OM的直线l，使得l与椭圆C相交于A、B两点，且以线段AB为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.

18．（本题满分15分）设命题
函数
的定义域为R，命题不等式
对一切正实数x均成立，如果命题
为真，
为假，求实数a的取值范围.

19．（本题满分16分）某水产养殖场拟造一个无盖的长方体水产养殖网箱，为了避免混养，箱中要安装一些筛网，其平面图如下，如果网箱四周网衣（图中实线部分）建造单价为每米56元，筛网（图中虚线部分）的建造单价为每米48元，网箱底面面积为160平方米，建造单价为每平方米50元，网衣及筛网的厚度忽略不计.?

（1）把建造网箱的总造价y（元）表示为网箱的长x（米）的函数，并求出最低造价；?

（2）若要求网箱的长不超过15米，宽不超过12米，则当网箱的长和宽各为多少米时，可使总造价最低？（结果精确到0.01米）

20．（本题满分16分）已知函数
是偶函数.

（1）求的值；

（2）设
，若函数
与
的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围.

阜中高二数学（文）试卷参考答案

一、选择题

1.
2. （3，3） 3.
4.
5. 2个

6.
7.
8.
9.
10.

11.
12.
13.
14.

二、解答题

15. ⑴由伪代码可知
，

当
时，
………………………………………………………………6分

⑵“先后抛掷一枚骰子，得到的点数分别为
”的可能事件总数N=36.

事件A发生，而
或
共有
共6种

………………………………………………………………………………………14分

16. ⑴由频率分布条形图知，抽取的学生总数为
人……………………………………2分

各班被抽取的学生人数成等差数列，设公差为d，则

………………………………………………………………………………………………6分

各班被抽取的人数分别是22人，24人，26人，28人………………………………………8分

⑵平均分
分……11分

⑶在抽取的学生中，任取一名学生，分数不低于90分的概率为10.25=0.75. …………………14分

17. ⑴C=3，则椭圆C的方程为

又

点M的坐标为(1,4)

或
（舍去）

椭圆方程为
…………………………………………………………………………7分

⑵假定存在符合题意的直线l与椭圆C相交于
，其方程为
.

由
，

，且
. ………………………………………………………………11分

因为以AB为直径的圆过原点，

.
，代入
.

存在这的直线l，所在直线的方程为
.……………………………………………15分

18.为真
恒成立，

当
时不合，
………………………………………………………………5分

为真

对一切
均成立，

又

…………………………………………………………10分

从而

又
.……………………………………………………15分

19. ⑴网箱的宽为
，

…………4分

当
时，
，当且仅当
时取

此时

网箱的长为16m时，总造价最低为13120元……………………………………………8分

⑵由题意
………………………………………………………………10分

此时
，在
上单调递减，而
时，y最小，此时宽=
.

网箱长为15m，宽为10.67m时，可使总造价最低………………………………………………16分

20. ⑴
对一切实数x恒成立

……………………………………………………………………………………………8分

⑵
与
的图象仅有一个公共点

仅有一个解，

仅有一个解…………………………………………………………10分

令
有且仅有一个正根

①当
时，
不合题意 ②
时，
解得
或

当
时，
不合题意，当
时，
.

③若方程有一正数，一个实根
，

综上：a的取值范围是
.……………………………………………………16分