2013～2014学年度下学期高二期中考试

数学试卷（文科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。全卷共150分，考试时间为120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1．下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是 （ ）

① 2012能被2整除； ② 一切偶数都能被2整除； ③ 2012是偶数；

A. ①②③ B. ②①③ C.②③① D. ③②①

2. 曲线
在点
处的切线方程为 ( ?? )

A．
B．
C．
D．

3．下列推理是归纳推理的是 （ ）

Ａ．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a＞|AB|，则P点的轨迹为椭圆

B．由
，求出
猜想出数列的前n项和Sn的表达式

Ｃ．由圆
的面积
，猜想出椭圆
的面积

D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇

4.已知函数
的导函数
的图象如图所示，则
的图象可能是( 　)

5．由“在平面内三角形的内切圆的圆心到三边的距离相等”联想到“在空间中内切于三棱锥的球的球心到三棱锥四个面的距离相等”这一推理过程是 （ ）

A.归纳推理 B.类比推理 C.演绎推理 D.联想推理

6. 函数
在
内有极小值，则实数的取值范围为 （ ）

A.
B.
C.
D.

7、已知函数
在
处有极值10，则
= （ ）

A. 11或18, B. 11 C. 17或18 D.18

8．已知
，
，且
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

9.设
在
上可导，且
，则当
时有 （ ）

A.
B.

C.
D.

10．观察下列算式：

＝1，

＝3＋5，

＝7＋9＋11，

＝13＋15＋17＋19，

……

若某数
按上述规律展开后，发现等式右边含有“2013”这个数，则＝_____．（ ）

A.41 B.43 C.45 D.47

11. 对实数和
，定义运算“
”：
设函数
若函数
的图像与轴恰有三个公共点，则实数的取值范围是 （ ）

A．
B．
　　C．
　　　D．

12.已知函数
，下列结论错误的是 （ ）

A.函数
一定存在极大值和极小值

B.若函数
在
上是增函数，则

C.函数
的图像是中心对称图形

D.函数
一定存在三个零点

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.函数
在
处的切线方程为_______________.

14．根据下面一组等式：

S1＝1；

S2＝2＋3＝5；

S3＝4＋5＋6＝15；

S4＝7＋8＋9＋10＝34；

S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65；

S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111；

S7＝22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＝175；

……

可得
________．

15.若
,
, 且函数
在
处有极值，则
的最大值等于_____________.

16. 已知
，若
，则
______．
______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. （本小题满分10分）已知
，函数

（1）当
时，求
的单调递增区间；

（2）若
的极大值是
，求的值.

18.（本小题满分12分）

现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽查了50人，他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表．

月收入（单位百元）

[15,25

[25，35

[35，45

[45，55

[55，65

[65,75



频数

5

10

15

10

5

5



赞成人数

4

8

12

5

2

1



（Ⅰ）由以上统计数据填下面2乘2列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点对“楼市限购令” 的态度有差异；

月收入不低于55百元的人数

月收入低于55百元的人数

合计



赞成









不赞成









合计









（Ⅱ)若对月收入在[15，25） ，[25，35）的被调查人中各随机选取1人进行追踪调查，求选中的2人中不赞成“楼市限购令”人数至多1人的概率。

参考数据：

19. （本小题满分12分）已知

(1)讨论
的单调性，

(2)当
时，若对于任意
，都有
,求的取值范围.

20. （本小题满分12分）

某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含
个小正方形．

(1)求出
的值；

(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出
与
之间的关系式，并根据你得到的关系式求出
的表达式；

(3)求
的值。

21. （本小题满分12分）

已知函数
的图象在点(1，
)处的切线方程为
。

(1)用表示出
；

(2)若
在[1，＋∞)上恒成立，求的取值范围．

22、（本小题满分12分）．已知函数
．

（Ⅰ）求函数
的单调递减区间；

（II）若
在
上恒成立，求实数的取值范围；

（III）过点
作函数
图像的切线，求切线方程．

高二文数参考答案：

CBBDB DDACC BD 13.
14.
15.9 16.
，

17.

（18）【解析】

（Ⅰ）2乘2列联表

月收入不低于55百元人数

月收入低于55百元人数

合计



赞成





32



不赞成





18



合计

10

40

50



………2分

.

所以没有99%的把握认为月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异. …………6分

（Ⅱ）从月收入在[15，25） ，[25，35）的被调查人中各随机选取1人，共有50种取法……8分

其中恰有两人都不赞成“楼市限购令”共有2种取法，……10分

所以至多1人不赞成“楼市限购令”共有48种方法，所以
…………12分

19.解：（1）

时
恒成立此时
在
上单调递增；

时，令
得：

得：

的递增区间为（
）
的递减区间为

（2）由（1）知
时
在
上单调递增

不妨设
则
可化为

即

令
则
在
单调递增

对
恒成立

.

20. 解：　(1)f(5)＝41.

(2)因为f(2)－f(1)＝4＝4×1，

f(3)－f(2)＝8＝4×2，

f(4)－f(3)＝12＝4×3，

f(5)－f(4)＝16＝4×4，

　……

由上式规律，所以得出f(n＋1)－f(n)＝4n.

因为f(n＋1)－f(n)＝4n?f(n＋1)＝f(n)＋4n

?f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)

＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)

＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)

＝…

＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4

＝2n2－2n＋1.

(3)当n≥2时，＝＝(－)，

∴＋＋＋…＋

＝1＋·(1－＋－＋－＋…＋－)

＝1＋(1－)＝－.

21. 解：　(1)f′(x)＝a－，则有解得

(2)由(1)知，f(x)＝ax＋＋1－2a.

令g(x)＝f(x)－ln x＝ax＋＋1－2a－ln x，x∈[1，＋∞)，

则g(1)＝0，g′(x)＝a－－＝＝，

(ⅰ)当01.

若1

即f(x)

(ⅱ)当a≥时，≤1.

若x>1，则g′(x)>0，g(x)是增函数，所以g(x)>g(1)＝0，

即f(x)>ln x，故当x≥1时，f(x)≥ln x.

综上所述，所求a的取值范围为[，＋∞)．

22、解：（Ⅰ）

得

函数
的单调递减区间是
；………………4分

（Ⅱ）
即

设
则
………………2分

当
时
，函数
单调递减；

当
时
，函数
单调递增；

最小值
实数的取值范围是
；………………8分

（Ⅲ）设切点
则

即

设
，当
时

是单调递增函数 ………………10分
最多只有一个根，又

由
得切线方程是
. ………………12分