（考试时间：120分钟；分值：150分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设
, “
”是 “复数
是纯虚数”的 （ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

2.用反证法证明“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，下列假设正确的是 （ ）

A．假设a，b，c都是奇数或至少有两个偶数 B．假设a，b，c都是偶数

C．假设a，b，c至少有两个偶数 D．假设a，
b，c都是奇数

3.空间任意四个点A、B、C、D，则
等于 ( ）

A．
B．
C．
D．

4.复数
在复平面内对应的点位于 （ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

5.已知向量
，
，且
与
互相垂直，则
等于（ ）

A．1 B．
C．

D．

6.若函数
的图象上任意点处切线的倾斜角为
，则
的最小值是 （　　）

A．
B．
C．
D．

7.已知正四棱柱
中
,则
与平面
所成角的正弦值等于 （ ）

A．
B．
C．
D．

8.从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点M
，则点M取自阴影部分的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

9.下面
是关于复数
的四个命题：
，
，

的共轭复数为
，
的虚部为
.其中的真命题为 （ ）

A．
B．
C．
D．

10. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈
，
〉的值为 (　　)．

A.
B.
C.
D.

11.对任意实数
，定义运算
，其中
是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算。已知
，并且有一个非零常数
，使得对任意实数
， 都有
，则
的值是（
）[来源:学科网]

A.
B.
C.
D.

12.已知函数
的图象关于点（1，0）对称，且当
时，
成立（其中
的导函
数），若

，
，则a，b，c的大小关系是 （ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸相应的位置上。

13.已知正三角形内切圆的半径
与它的高
的关系是：
,把这个结论推广到空间正四面体，则正四面体内切球的半径
与正四面体高
的关系是 ．

14.设
（i为虚数单位），则

15. 在
长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为________．

16.若函数
上为递减函数，则m的取值范围是 。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）已知数列
满足

（1）分别求
的值。

（2）猜想
的通项公式
，并用数学归纳法证明。

18. （本小题满分12分）如图，正方形
所在的平面与平面
垂直，
是
和
的交点，
，且
．

（1）求证：
平面
；

（2）求二面角
的大小．

19.（本小题满分12分）设函数
.

（Ⅰ）求
的单调区间和极值；

（Ⅱ）若关于
的方程
有3个不同实根，求实数a的取值范围.

20.（本小题满分 12 分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每
日的销售量
(单位：千克)与销售价格
(单位：元/千克)满足关系式
，其中
，
为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．

(Ⅰ) 求
的值；

(Ⅱ) 若该商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格
的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．[来源:学科网ZXXK]

21. （本小题满分12分）如图，已知四棱锥
，底面
为菱形，

平面
，
，
分别是
的中点．

（1）证明：
；

（2）若
为
上的动点，
与平面
所成最大角的正切值为
，求二面角
的余弦值．

22.（本小题满分12分）已知函数
，

（1）求
在点（1,0）处的切线方程；

（2）判断
及
在区间
上的单调性；

（3）证明：
在
上恒成立

试卷答案

1.B2.A3.C4.B5.D6.D7.A8.B9.C10.B11.B12.B

13.
14.
15.
16.

17.1）
，
………3分

2）猜想
……………5分

（理）（1）当n=1时命题显然成立

（2）假设
命题成立，即

当
……………7分

时命题成立

综合（1）（2）当
时命题成立………10分

18.

证明：（1）∵四边形
是正方形，

∵平面
平面
，又∵
，
平面
．

平面
，

．
平面
． ………6分

（2）过
作
于
，连结
．

平面
，
．
平面
．

是二面角
的平面角．

∵ 平面
平面
，
平面
．

．

在
中，
，有
．

设
可得

，
，

．
．
．

∴二面角
等于
． ………………………………………………12分

19.（Ⅰ）
………… 1分

令
得：
………… 2分

当
变化时，
的变化情况如下表：

















0



0







增

极大[来源:学。科。网Z。X。X。K]

减

极小

增



所以
的增区间是
和
，减区间是
； ………… 6分

当
时，
取得极大值，极大值
； …… 7分

当
时，
取得极小值，极小值
. …… 8分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，作出函数
的草图如图所示：

所以，实数
的取值范围是
. ………… 12分

，………4分

， ……7分

令
得
，或
（舍去），函数
在
上递增，在
上递减，所以当
时，函数
取得最大值
.……11分

答：当销售价格
时,商场每日
销售该商品所获得的利润最大，最大值为42. 12分

21.（1）证明：由四边形
为菱形，
，可得
为正三角形．

因
为
为
的中点，所以
．

又
，因此
．

因为
平面
，
平面
，所以
．

而
平面
，
平面
且
，

所以
平面
．又
平面
，

所以
．…………5分

（2）由（1）知
两两垂直，以
为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又
分别为
的中点，所以

，

，

所以
．…………8分

设平面
的一法向量为
，[来源:学+科+网]

则
因此
[来源:学|科|网]

取
，则
，

因为
，
，
，所以
平面
，

故
为平面
的一法向量．

又
，所以
．……10分

因为二面角
为锐角，所以所求二面角的余弦值为
．……12分

22、【解析】（1）
…………1分

…………2分

…
……………3分

（2）


…………4分

在
上恒成立 ………………6分

在
上单调递减

在
上单调递增 ……………7分

（3）
即
………………………………8分

设函数

则
在