高二年级春学期期中学情调研

数学试题（理科）

一、填空题（每题5分，共70分）

1．在复平面内，复数
对应的点的坐标为 ▲ 。

2．要证明“
”可选择的方法有以下几种，其中最合理的是 ▲ 。（填序号）

①反证法 ②分析法 ③综合法

3．若复数
为纯虚数（其中i为虚数单位），则实数的值为 ▲ 。

4．已知数列
满足
，
，且
，则
▲ 。

5．已知
是函数
的导数，则
= ▲ 。

6．下面几种推理是合情推理的是 ▲ 。（填序号）

①由圆的性质类比出球的性质；

②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是1800，归纳得出所有三角形的内角和为1800；

③小王某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；

④三角形的内角和是1800，四边形内角和是3600，五边形的内角和是5400，由此得凸n边形的内角和是
.

7．已知函数
(
)，则函数
的值域为 ▲ 。

8．已知矩阵
，则矩阵A的逆矩阵为 ▲ 。

9．函数
的单调减区间是 ▲ 。

10．已知变换
，点
在变换
下变换为点
，则
▲ 。

11．函数
在
上是增函数，则实数的取值范围是 ▲ 。

12．已知圆
在矩阵
对应伸压变换下变为一个椭圆，则此椭圆方程为 ▲ 。

13．已知函数
的定义域为R，
为
的导函数，函数
的图象如图所示，且
，
，则不等式
的解集为 ▲ 。

14．设直线
与函数
，
的图象分别交于M、N两点，则当MN达到最小时t的值为 ▲ 。

二、解答题(15,16各14分；17,18各15分；19,20各16分)

15．已知复数
(其中为虚数单位，
)，

若
为实数。

（1）求实数的值；

（2）求
.

16．二阶矩阵
；

（1）求点
在变换M作用下得到的点
；

（2）设直线
在变换M作用下得到了直线
，求
的方程。

17．是否存在常数
使得
对一切
恒成立？若存在，求出
的值，并用数学归纳法证明；若不存在，说明理由。

18．某公司经销某种产品，每件产品的成本为6元，预计当每件产品的售价为元（
）时，一年的销售量为
万件。

（1）求公司一年的利润y（万元）与每件产品的售价x的函数关系；

（2）当每件产品的售价为多少时，公司的一年的利润y最大，求出y最大值。

19．已知阶矩阵
，向量
。

（1）求阶矩阵的特征值和特征向量；

（2）计算
。

20．已知函数

（1）求函数
在
处的切线的斜率；

（2）求函数
的最大值；

（3）设
，求函数
在
上的最大值。

高二数学试题（理科）参考答案

1.
2.② 3. 1 4.－6 5. 6 6.①②④ 7.
8.

9.
10. 1 11.
12.
13. （－2，3） 14.

二、解答题

15．解：（1）
……………………………………4分

∵
………………7分

（2）∵
………………………9分

∵
…………………………14分

16．解：（1）设
则
…………………3分

∴解得
……………………6分

（2）设直线l上任一点为
，点P在M的作用下得到点
在m上则

且
…………………12分

∴
即
即为所求直线方程…………………14分

17．解：取
和2 得
解得
………………………4分

即

以下用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，已证。 ………………………6分

（2）假设当n=k，
时等式成立

即
………………………8分

那么，当
时有

………………………10分

………………………12分

就是说，当
时等式成立 ………………………13分

根据（1）（2）知，存在
使得任意
等式都成立………………………15分

18．（1）
＝
（
）………6分

（2）

……………………………………………………8分

令
0，
，

………………10分

当
时y为增函数，当
时y为减函数…………12分

又
，当
时y为减函数

∴当
时，
（万元） …………14分

答：当每件产品的售价为9元时，一年的利润最大为27万元。 …………15分

19．解（1）矩阵A的特征多项式为

…………4分

令
解得A的特征值
…………6分

当
时，代入二元一次方程组
解得

∴特征值
时的一个特征向量为
…………8分

当
时，代入二元一次方程组

解得

∴特征值
时的一个特征向量为
…………10分

（2）由（1）知
，

令
则
…………12分

解得
…………14分

∴

…………16分

20．解（1）
…………2分

当
时，
…………4分

（2）由
得
得
。

即
在
上为增， 在
上为减 …………8分

∴
…………10分

（3）i)当
即
时，

在
上为增，
…………12分

ii)当
即
，
在
上为增，在
为减

…………14分

iii)当
,
在
为减，

综上得，
…………16分