第Ⅰ卷

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

1．复数
的虚部为______.

2．用反证法证明：“
”，应假设为 ▲ ．

3．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为，8，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，则这组数据的方差为 ▲ ．

4．某校有教师200人，男生1200人，女生1000人，现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知女生抽取的人数是80人，则
▲ ．

5．下面是一个算法的伪代码．如果输出的y的值是10，则输入的x的值是 ▲ ．

6．如图是从甲、乙两个班级各随机选出9名同学进行测验成绩的茎叶图，从图中看，平均成绩较高的是 ▲ 班．

8．若直线
与函数
图象的切线垂直且过切点，则实数
▲ ．

9．若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为________．

10．如图，正方体
,点M是
的中点，点O是

底面
的中心，P是
上的任意一点，则直线BM与OP

所成的角大小为 ▲ ．

11．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=1，BC=2．在BC边上任取一点M，则∠AMB≥90°的概率为 ▲ ．

12．命题“
时，满足不等式
”是假命题，则的取值范围 ▲ ．

13．过原点向曲线
可作三条切线，则实数的取值范围是 ▲ ．

14．如图，用一块形状为半椭圆

的铁皮截取

一个以短轴
为底的等腰梯形
，记所得等腰梯形ABCD

的面积为
，则
的最小值是 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．(本题满分14分)

设：方程
表示双曲线；

：函数
在R上有极大值点和极小值点各一个．

求使“
”为真命题的实数的取值范围．

17．(本题满分14分)

甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为
，乙每次击中目标的概率为
。记甲击中目标的次数为ξ ，乙每次击中目标的概率为η。

（1）、求ξ的概率分布。

（2）、求ξ和η的数学期望。

18． (本题满分16分)

如图，四棱锥
的底面是矩形，
⊥底面
，
，
，且为
的中点．

（1）求异面直线
与平面
所成角的正弦值；

（2）求二面角
的余弦值．

19． (本题满分16分)

某地区注重生态环境建设，每年用于改造生态环境总费用为亿元，其中用于风景区改造为亿元。该市决定建立生态环境改造投资方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①每年用于风景区改造费用随每年改造生态环境总费用增加而增加；②每年改造生态环境总费用至少亿元，至多
亿元；③每年用于风景区改造费用不得低于每年改造生态环境总费用的15%，但不得每年改造生态环境总费用的22%。

（1）若
，
，请你分析能否采用函数模型y＝
作为生态环境改造投资方案；

（2）若、
取正整数，且<
，并用函数模型y＝
作为生态环境改造投资方案，请你求出、
的取值．

20． (本题满分16分)

已知函数
，

（1）求函数
的极值；

（2）若
时，
恒成立，求实数的值；

（3）当
时，求证：
在区间
上有且仅有一个零点。

2013-2014学年第二学期高二数学期中试卷（理科） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

参考答案及评分标准

二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．(本题满分14分)

设：方程
表示双曲线；

：函数
在R上有极大值点和极小值点各一个．

求使“
”为真命题的实数的取值范围．

解：命题P：∵方程
表示双曲线，∴
，

即
或
。 ………………5分

命题q：∵函数
在R上有极大值点和极小值点各一个，

∴
有两个不同的解
，即△＞0。

由△＞0，得m＜－1或m＞4。 ………………10分

又由题意知“p且q”为真命题，则p，q都是真命题,

∴
．

的取值范围为
． ………………14分

16．(本题满分14分)

一只袋中装有2个白球、3个红球，这些球除颜色外都相同。

（Ⅰ）从袋中任意摸出1个球，求摸到的球是白球的概率；

（Ⅱ）从袋中任意摸出2个球，求摸出的两个球都是白球的概率；

（Ⅲ）从袋中任意摸出2个球，求摸出的两个球颜色不同的概率。

解：（Ⅰ）从5个球中摸出1个球，共有5种结果，其中是白球的有2种，所以从袋中任意摸出1个球，摸到白球的概率为
………………4分

17．(本题满分14分)

甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为
，乙每次击中目标的概率为
。记甲击中目标的次数为ξ ，乙每次击中目标的概率为η。

（1）、求ξ的概率分布。

（2）、求ξ和η的数学期望。

解、（1）

ξ

0

1

2

3



P

1/27

2/9

4/9

8/27



(6分)

（2）、E（ξ）=3×2/3=2 (10分)

E（η）=3×1/2=3/2 (14分)

18． (本题满分16分)

如图，四棱锥
的底面是矩形，
⊥底面
，
，
，且为
的中点．

（1）求异面直线
与平面
所成角的正弦值；

（2）求二面角
的余弦值．

解：因为
⊥底面
，底面
是矩形，所以
两两垂直，

以
所在直线为坐标原点建立如图所示的坐标系，

则各点坐标如下：
……………2分

（1）
，
，
，

设平面
的一个法向量为
，由
可得
，

平面
的一个法向量为
， ……………6分

所以
， ……………8分

则直线
与平面
所成角的正弦值等于
为
；……………10分

（2）
，
，

设平面
的一个法向量为
， 由
可得
，

平面
的一个法向量为
，由（1）可知，平面
的一个法向量为
，

……………12分

所以
， ……………14分

由图可知，二面角
为锐二面角，

因此二面角
的余弦值为
…………………16分

19． (本题满分16分)

某地区注重生态环境建设，每年用于改造生态环境总费用为亿元，其中用于风景区改造为亿元。该市决定建立生态环境改造投资方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①每年用于风景区改造费用随每年改造生态环境总费用增加而增加；②每年改造生态环境总费用至少亿元，至多
亿元；③每年用于风景区改造费用不得低于每年改造生态环境总费用的15%，但不得每年改造生态环境总费用的22%。

（1）若
，
，请你分析能否采用函数模型y＝
作为生态环境改造投资方案；

（2）若、
取正整数，且<
，并用函数模型y＝
作为生态环境改造投资方案，请你求出、
的取值．

解：（1）∵
，

∴函数y＝
是增函数，满足条件①。 ………………3分

设
，

则
，

令
，得
。 ………………5分

当
时，
，
在
上是减函数；

当
时，
，
在
上是增函数，

又
，
，即
，
在
上是增函数，

∴当
时，
有最小值0.16=16%>15%，

当
时，
有最大值0.1665=16.65%<22%,

∴能采用函数模型y＝
作为生态环境改造投资方案。…………8分

（2）由(1)知
，

依题意，当
，、
时，
恒成立；…………10分

下面求
的正整数解。

令
，

由(1)知
，
在
上是减函数，在
上是增函数，

又由（1）知，在
时，
，且
=16%∈[15%，22%]，

合条件，经枚举
，
∈[15%，22%]，

而
[15%，22%]，可得
或
或
， ……………………14分

由
单调性知
或
或
均合题意。 …………16分

（3）当
时，求证：
在区间
上有且仅有一个零点。

解：（1）∵
　　∴

令
得：

当
时，
，函数
在
上为减函数；

当
时，
，函数
在
上为增函数；

∴当
时，函数
有极小值，极小值为：
；无极大值………………3分

（2）方法一：由题意可得：
恒成立；

①当
时，不等式
显然成立，这时
； ……………4分

②当
时，不等式
恒成立即：
恒成立；

由（1）可得：当当
时，
　∴
………5分

③当
时，不等式
恒成立即：
恒成立；

由（1）可得：当当
时，
　∴
………7分

综上可得：
……………8分

（2）方法二：由题意可得：
恒成立；即：
恒成立。

令
　由题意可得：
……………4分

当
时，
，
在
上为增函数，

注意到
，当
时，
，不合题意；　　 ……………5分　　

②当
时，令
，得
，

当
时，
，函数
在
上为减函数；

当
时，
，函数
在
上为增函数；　

∴当且仅当
时，
，这时，
恒成立。 ……………8分

（3）
，
,

令
，得
，

当
时，
，函数
在
上为减函数；

当
时，