嘉兴市第一中学2013学年第二学期期中考试

高二数学（理科） 试题卷

满分[ 100]分 ，时间[120]分钟 2014年4月

一、选择题：

1．已知椭圆
上一点
到右焦点的距离是1，则点
到左焦点的距离是（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

2．下列方程所表示的曲线中，关于x轴和y轴都对称的是（ ▲ ）

A．
B．
= x

C．
= 1 D．x － y + 1 = 0

3．直线
与圆
的位置关系是（ ▲ ）

A．相交且过圆心 B．相切 C．相离 D．相交但不过圆心

4．圆
在点
处的切线方程为（ ▲ ）

A．
B．

C．
D．

5．由不等式组
，表示的平面区域(图中阴影部分)为（ ▲ ）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A． B． C． D．

6．点A（4，0）关于直线l：5x+4y+21=0的对称点是（ ▲ ）

A．（-6，8） B．（-8，-6） C．（-6，-8） D．（ 6，8）

7．已知
和
是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A，异于点A的两动点B、C分别在
、
上，且BC=
，则过A、B、C三点的圆面积为（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

8．双曲线x2-y2=1右支上一点P（a,b）到直线y=x的距离为
，则a+b的值是（ ▲ ）

A． -
B．
C． -
或
D．2或

9．点P是曲线
上的动点，设点P处切线的倾斜角为，则的取值范围是（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知方程
和
，其中,
，它们所表示的曲线可能是下列图象中的（ ▲ ）

A． B． C． D．

11．两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线
，
,和圆：
相切，则实数的取值范围是（ ▲ ）

A．
或
B．
或

C．
或
D．
或

12．已知椭圆
的离心率为
，动
是其内接三角形，且
．若AB的中点为D，D的轨迹E的离心率为
，则（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：

13．若双曲线离心率为2，则它的两条渐近线的夹角等于____▲____．

14．设
且满足
，则
的最小值等于____▲____．

15．已知点
满足
，则
的取值范围是____▲____．

16．曲线
在点
处的切线与坐标轴所围三角形的面积为____▲____．

17．若直线
与曲线
恰有两个不同的交点，则
的取值所构成的集合为____▲____．

18．在直角坐标系内，点
实施变换
后，对应点为
，给出以下命题：

①圆
上任意一点实施变换
后，对应点的轨迹仍是圆

；

②若直线
上每一点实施变换
后，对应点的轨迹方程仍是
则
；

③椭圆
上每一点实施变换
后，对应点的轨迹仍是离心率不变的椭圆；

④曲线
：
上每一点实施变换
后，对应点的轨迹是曲线
，
是曲线
上的任意一点，
是曲线
上的任意一点，则
的最小值为
．

以上正确命题的序号是____▲____（写出全部正确命题的序号）．

三、解答题：

19．已知函数y=xlnx+1．

（1）求这个函数的导数；

（2）求这个函数的图象在点x=1处的切线方程．

20．已知直线
经过直线
与直线
的交点，且垂直于直线
．

（1）求直线
的方程；

（2）求直线
与两坐标轴围成的三角形的面积
．

21．设椭圆

的左、右焦点分别
、
，点是椭圆短轴的一个端点，且焦距为6，
的周长为16．

（I）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）求过点
且斜率为
的直线
被椭圆
所截的线段的中点坐标．

22．已知曲线C上的动点P（
）满足到定点A(-1,0)的距离与到定点B（1,0）距离之比为
．

(1)求曲线C的方程．

(2)过点M(1,2)的直线
与曲线C交于两点M、N，若|MN|=4，求直线
的方程．

23．在平面直角坐标系
中，已知圆
，圆
．

（Ⅰ）判断圆
与圆
的位置关系；

（Ⅱ）若动圆同时平分圆
的周长、圆
的周长，则动圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．

24．如图，椭圆
：
（
）和圆
：
，已知圆
将椭圆
的长轴三等分，且
，椭圆
的下顶点为，过坐标原点
且与坐标轴不重合的任意直线
与圆
相交于点、．

（Ⅰ ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）若直线
、
分别与椭圆
相交于另一个交点为点、
．

①求证：直线
经过一定点；

②试问：是否存在以
为圆心，
为半径的圆
，使得直线
和直线
都与圆
相交？若存在，请求出所有的值；若不存在，请说明理由．

嘉兴市第一中学2013学年第一学期期中考试

高二数学（理科） 参考答案及评分标准

一、选择题：

DADBDC DBBBCA

12、设
，
，则

由
，得
．

因为C是椭圆上一点，所以

得
(定值) 设

所以

二、填空题：

13. 60°； 14. 3 ； 15.
； 16.
；

17.
； 18. ①③④

三、解答题：

19.解：（1）y=xlnx+1，

∴y'=1×lnx+x?
=1+lnx

∴y'=lnx+1

（2）k=y'|x=1=ln1+1=1

又当x=1时，y=1，所以切点为（1，1）

∴切线方程为y-1=1×（x-1），

即y=x

20.解：（Ⅰ）由
解得

由于点P的坐标是（
，2）.

则所求直线
与
垂直，

可设直线
的方程为
.

把点P的坐标代入得
，即
.

所求直线
的方程为
.

（Ⅱ）由直线
的方程知它在轴、轴上的截距分别是
、
，

所以直线
与两坐标轴围成三角形的面积

21.解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，则由题设得
，

解得
，所以
，

故所求
的方程为
.

（Ⅱ）过点
且斜率为
的直线方程为
，

将之代入
的方程，得

，即
.

设直线
与椭圆有两个交点
，

因为
，所以线段
中点的横坐标为
，

纵坐标为
.

故所求线段的中点坐标为

22. 解：（1）由题意得|PA|=
|PB|

故

化简得：
（或
）即为所求。

（2）当直线
的斜率不存在时，直线
的方程为
，

将
代入方程
得
，

所以|MN|=4，满足题意。

当直线
的斜率存在时，设直线
的方程为
+2

由圆心到直线的距离

解得
，此时直线
的方程为

综上所述，满足题意的直线
的方程为：
或
。

23. （Ⅰ）相离.

24．（Ⅰ ）依题意，
，则
，

∴
，又
，∴
，则
，

∴椭圆方程为
．

（Ⅱ）①由题意知直线
的斜率存在且不为0，设直线
的斜率为
，则
：
，

由
得
或

∴
，

用
去代
，得
，

方法1：
，

∴
：
，即
，

∴直线
经过定点
．

方法2：作直线
关于轴的对称直线
，此时得到的点
、
关于轴对称，则
与
相交于轴，可知定点在轴上，

当
时，
，
，此时直线
经过轴上的点
，

∵

∴
，∴、
、三点共线，即直线
经过点，

综上所述，直线
经过定点
．

②由
得
或
∴
，

则直线
：
，

设
，则
，直线
：
，直线
：
，

假设存在圆心为
，半径为
的圆
，使得直线
和直线
都与圆
相交，

则
由（）得
对
恒成立，则
，

由（）得，
对
恒成立，

当
时，不合题意；当
时，
，得
，即
，

∴存在圆心为
，半径为
的圆
，使得直线
和直线
都与圆
相交，所有的取值集合为
．

解法二：圆
，由上知
过定点
，故
；又直线
过原点，故
，从而得
．