命题人：聂志勇 审题人：张先祥

一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1、设是实数，且
，则实数
（ ）

A．
B．1 C．2 D．

2．下列有关命题的说法中错误的是（ ）

A．若“
”为假命题，则、均为假命题

B．“
”是“
”的充分不必要条件

C．“
”的必要不充分条件是“
”

D．若命题p：“实数x使
”，则命题
为“对于
都有

3、已知数列
是各项均为正数的等比数列，若
，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

4、设变量
满足约束条件
，则目标函数
的最大值为（ ）

A．
B． C． D．

5、以正方形的顶点为顶点的三棱锥的个数 ( ）

A．
B．
C．
D．

6、二项式
(nN)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是（ ）

A． 1 B．2 C．3 D．4

7、用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为( )

A．a，b，c中至少有两个偶数

B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数

C．a，b，c都是奇数

D．a，b，c都是偶数

8、对于不等式
＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：

(1)当n＝1时，
＜1＋1，不等式成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时，不等式成立，即
＜k＋1，则当n＝k＋1时，
＝
＜
＝
＝ (k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( )

A．过程全部正确 B．n＝1验得不正确

C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确

9、从
名男同学，名女同学中选出
名同学组队参加课外活动，要求男、女同学都有，则不同的方案个数共有( )

A．140 B．100 C．80 D．70

10、5人排成一排，甲与乙不相邻，且甲与丙也不相邻的不同排法数是 ( ）

A．24 B． 36 C．48 D． 60

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分，把答案填写在答题卡相应的位置）

11、复数z=
，则
= ；

12、二项式
的展开式中常数项为 ；

13、椭圆
的焦点为
，点在椭圆上，若
，
的大小为 .

14、用
四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为
,则

= 。

15、若数列
的通项公式
,记
,试通过计算
的值,推测出

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16、（本小题满分12分）

已知a、b、c分别是△ABC中角A、B、C的对边，且
.

（1）求角的大小；

（2）若
，求
的值．

17、（本小题满分12分）

已知：如图，在四棱锥
中，四边形
为正方形，
，

且
，为
中点．

（1）证明：
//平面
；

（2）证明：平面
平面
；

（3）求二面角
的正弦值．

18、（本小题满分12分）

已知
的展开式的奇数项二项式系数和是16,求
的展开式中:

（1）二项式系数最大的项;（2）系数的绝对值最大的项。

19、（本小题满分13分）

已知命题:“若数列
为等差数列,且

,则
”.

现已知数列
为等比数列,且


.

(1)请给出已知命题的证明;

(2)类比(1)的方法与结论,推导出
.

20、（本小题满分13分）

设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1(n∈N*)．

(1)求a1，a2；

(2)猜想数列{Sn}的通项公式，并给出证明．

21．（本小题满分13分）

已知函数

．

（1）当
时，求函数
的单调区间；

（2）若函数
在
处取得极值，对

,
恒成立，求实数
的取值范围；

（3）当
时，求证：
．

参考答案

一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1、设是实数，且
，则实数
（ B ）

A．
B．1 C．2 D．

2．下列有关命题的说法中错误的是（ C ）

A．若“
”为假命题，则、均为假命题

B．“
”是“
”的充分不必要条件

C．“
”的必要不充分条件是“
”

D．若命题p：“实数x使
”，则命题
为“对于
都有

3、已知数列
是各项均为正数的等比数列，若
，则
等于（C ）

A．
B．
C．
D．

4、设变量
满足约束条件
，则目标函数
的最大值为（ C ）

A．
B． C． D．

5、以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数 ( D ）

A．
B．
C．
D．

6、二项式
(nN)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是

（ C ）

A．1 B．2 C．3 D．4

7、用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为( B )

A．a，b，c中至少有两个偶数

B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数

C．a，b，c都是奇数

D．a，b，c都是偶数

8、对于不等式
＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：

(1)当n＝1时，
＜1＋1，不等式成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时，不等式成立，即
＜k＋1，则当n＝k＋1时，
＝
＜
＝
＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( D )

A．过程全部正确

B．n＝1验得不正确

C．归纳假设不正确

D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确

9、从
名男同学，名女同学中选出
名同学组队参加课外活动，要求男、女同学都有，则不同的方案个数共有( D )

A．140 B．100 C．80 D．70

10、5人排成一排，甲与乙不相邻，且甲与丙也不相邻的不同排法数是 ( B ）

A．24 B． 36 C．48 D． 60

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分，把答案填写在答题卡相应的位置）

11、复数z=
，则
=
；

12、二项式
的展开式中常数项为 28 ；

13、椭圆
的焦点为
，点在椭圆上，若
，
的小大为
.

14、用
四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为
,则= 2

15、若数列
的通项公式
,记
,试通过计算
的值,推测出

.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16、（本小题满分12分）

已知a、b、c分别是△ABC中角A、B、C的对边，且
.

（1）求角的大小；

（2）若
，求
的值．

17、（本小题满分12分）

已知：如图，在四棱锥
中，四边形
为正方形，
，且
，为
中点．

（1）证明：
//平面
；

（2）证明：平面
平面
；

（3）求二面角
的正弦值．

解： （Ⅰ）

证明：连结BD交AC于点O，连结EO．

O为BD中点，E为PD中点，∴EO//PB．

EO平面AEC，PB平面AEC， ∴ PB//平面AEC．

（Ⅱ）证明： PA⊥平面ABCD．
平面ABCD，∴
．

又在正方形ABCD中
且
，

∴CD平面PAD，又
平面PCD，

∴平面
平面
．

（Ⅲ）如图，以A为坐标原点，
所在直线分别为轴，轴，轴建立空

间直角坐标系．

由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐标分别为

A(0, 0, 0), B(2, 0, 0),C(2, 2, 0),

D(0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1, 1) ．

PA平面ABCD，∴
是平面ABCD的法向量，

=（0, 0, 2）．设平面AEC的法向量为
,
,

则
即

∴

∴ 令
,则
. ∴
,

二面角
的正弦值为

18、（本小题满分12分）

已知
的展开式的奇数项二项式系数和是16,求
的展开式中:

二项式系数最大的项;（2）系数的绝对值最大的项。

即展开式中第5项系数的绝对值最大，
.

19、（本小题满分13分）

已知命题:“若数列
为等差数列,且

,则
”.现已知数列
为等比数列,且


.

(1)请给出已知命题的证明;

(2)类比(1)的方法与结论,推导出
.

21.解:(1)因为在等差数列{an}中,由等差数列性质得
,又
,

∴
,得
,两式相减得
,

∴
.

20、（本小题满分13分）

设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1(n∈N*)．

(1)求a1，a2；

(2)猜想数列{Sn}的通项公式，并给出证明．

(2)由题意知(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式整理得

SnSn－1－2Sn＋1＝0，解得Sn＝
.

由(1)得S1＝a1＝
，S2＝a1＋a2＝
＋
＝
.

猜想Sn＝
(n∈N*)．

下面用数学归纳法证明这个结论．

①当n＝1时，结论成立．

②假设n＝k(k∈N*，k≥1)时结论成立，即Sk＝
，当n＝k＋1时，

Sk＋1＝
＝
＝
.

即当n＝k＋1时结论成立．

由①②知Sn＝
对任意的正整数n都成立．

21．（本小题满分13分）

已知函数

．

（1）当
时，求函数
的单调区间；

（2）若函数
在
处取得极值，对

,
恒成立，求实数
的取值范围；

（3）当
时，求证：
．

（3）证明：
，

令
，则只要证明
在
上单调递增，

又∵
，

显然函数
在
上单调递增．

∴
，即
，

∴
在
上单调递增，即
，

∴当
时，有
．