命题人：胡慧君 审题人：易杨志

一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共计45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上.

1.复数
（为虚数单位）的共轭复数是

A．
B．
C．
D．

2．命题“存在实数,使
”的否定是（ ）

（A） 对任意实数, 都有
（B）不存在实数，使x
1

（C） 对任意实数, 都有
（D）存在实数，使

3．已知随机变量
的值如右表所示，如果与线性

　相关 且回归直线方程为
，则实数
的值为

A.
B.
C.
D.

4．已知命题
，命题
，且是的充分而不必要条件,则的取值范围是

A.
B.
C.
D.

5.观察下列各式：




，则
（ ）

（A）28 （B）76 （C）123 （D）199

6.已知
是坐标原点，点
，若点
为平面区域

上的一个动点，则
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

7．按照如图的程序运行，已知输入的值为
， 则输出的值为

A. 7 B. 11

C. 12 D. 24

8．如图，
、
是椭圆
与双曲线
：
的公 共焦点，、

分别是
与
在第二、四象限的公共点.? 若四边形
为矩形

，则
的离心率是

A.
B.
C.
D.

9．若
是定义在上的函数，且对任意实数，都有
≤
，

≥
，且
，
，则
的值是

A. 2014 B. 2015 C. 2016 D. 2017

二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上的相应横线上.

10．以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知圆的极坐标方程为
，直线的参数方程为
（为参数），则圆心到直线的距离是 .

11．若
，则
.

12．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是
． 现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为 ．

13．已知复数z＝(3＋i)2(i为虚数单位)，则|z|＝________

14．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是___________

15．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如下图中的实心点个数1，5，12，22，…， 被称为五角形数，其中第1个五角形数记作
，第2个五角形数记作
，第3个五角形数记作
，第4个五角形数记作
，……，若按此规律继续下去，

　　(1)
_________；(2) 若
，则 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

在
中，已知
，
，

（Ⅰ）求角
和角；

（Ⅱ）求
的面积
.

17．（本小题满分12分）

某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如下：

API

















空气质量

优

良

轻微污染

轻度污染

中度污染

中度重污染

重度污染



天数

4

13

18

30

9

11

15



（1）若某企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元）与空气质量指数API（记为ω）的关系式为：

试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；

（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？

附：

P(K2 ≥ k0)

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001



k0

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828





非重度污染

重度污染

合计



供暖季









非供暖季









合计





100





18．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD垂直于AB和DC，侧棱SA⊥底面ABCD，且SA = 2，AD = DC = 1，点E在SD上，且AE⊥SD。

（1）证明：AE⊥平面SDC；

（2）求三棱锥B—ECD的体积。

19．（本小题满分13分）

已知等差数列
的前项和为
，公差
，且
，
成等比数列.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
是首项为1公比为2 的等比数列，求数列
前项和
.

20．（本小题满分13分）

已知椭圆
:
的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为
的菱形的四个顶点.

(Ⅰ)求椭圆
的方程；

(Ⅱ)若直线
交椭圆
于
两点，在直线
上存在点,使得
为等边三角形,求
的值.

21．（本小题满分13分）

已知函数
(
是常数)在
处的切线方程为
，且
.

（Ⅰ）求常数
的值；

（Ⅱ）若函数
(
)在区间
内不是单调函数，求实数的取值范围.

参考答案

选择题（
）

二、填空题（
）

解答题：

17解：

（Ⅰ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A

……1分

由
，得
，频数为39，……3分

……………………….4分

（Ⅱ）根据以上数据得到如下列联表：

非重度污染

重度污染

合计



供暖季

22

8

30



非供暖季

63

7

70



合计

85

15

100



……………….8分

K2的观测值
……………………….10分

所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关. ……………………….12分

18．(Ⅰ)证明：侧棱
底面
，
底面

. ……………………….1分

又底面
是直角梯形，
垂直于
和

,又

侧面
,……………………….3分

侧面

平面
……………………….5分



20解：(Ⅰ)因为椭圆
:
的四个顶点恰好是一边长为2，

一内角为
的菱形的四个顶点, 所以
,

椭圆
的方程为
……………… 4分

(Ⅱ)设
,则

（i）当直线
的斜率为0时，
的垂直平分线就是轴，

轴与直线
的交点为
,

又

，

所以
是等边三角形,所以
满足条件；………………6 分

21解： （Ⅰ）由题设知，
的定义域为
,
,

因为
在
处的切线方程为
，

所以
,且
，即
,且
,

又
，解得
，
，
………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

因此，

所以
………………7分

令
.