河北冀州中学

2013—2014学年度高二年级下学期第一次月考

理 科 数 学 试 题

考试时间120分钟 试题分数150分

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一．选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)

1、已知集合
, 集合
, 则（ 　）

A、
B、
C、
D、

2、设z = 1 – i（i是虚数单位），则复数
＋i2的虚部是（ 　）

A、1 B、－1 C．i D、－i

3、已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图

与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（ ）

A、
B、
C、
D、

4、一算法的程序框图如右图所示，若输出的
，

则输入的可能为（ 　）

A、
B、

C、或
D、
或

5、直线m、n均不在平面
内，给出下列命题：

①若
，则
；②若
，则
；

③若
，则
；④若
，则
；

其中正确命题的个数是（ ）

A、1 B、2 C、3 D、4

6、等差数列
的前n项和为
，若
，则

A、21　　　B、24 C、28 D、7（ 　）

7、某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、

大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车。每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有

A、24种 B、18种 C、48种 D、36种（ 　）

8、已知双曲线的一个焦点与抛物线
的焦点重合,且其渐近线的方程为

，则该双曲线的标准方程为（ 　）

A、
B、
C、
D、

9、已知AB是抛物线
的一条焦点弦，
，则弦AB的中点C的横坐标为 （ 　）

A、
B、
C、2 D、

10、设函数
，则下列结论正确的是（ 　）

A、
的图像关于直线
对称 B、
的图像关于点
对称

C、把
的图像向左平移
个单位，得到一个偶函数的图像

D、
的最小正周期为，且在
上为增函数

11、在
的展开中，的幂指数是整数的项共有（ 　）

A、6项 B、5项 C、4项 D、3项

12、已知函数
是定义在上的偶函数，
为奇函数，
，当
时，
log2x，则在
内满足方程
的实数为（ 　）

A、
B、 C、
D、

第Ⅱ卷 (非选择题)

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填入答题纸相应位置)

13、若向量
、
满足
，且
与
的夹角为
，则
。

14、已知数列
满足
，则数列
的

前n项和为 。

15、如图，设是图中边长为4的正方形区域，是内函数

图象下方的点构成的区域．在内随机取一点，则该点落在中的概率为 。

16、对任意正整数，定义的双阶乘
如下：当为偶数时，

；当为奇数时，
。现有四个命题：①
；②
；③
个位数为0； ④
个位数为5。其中正确命题的序号有______________。

三、解答题（共6小题，共70分；要求写出必要的文字说明，解题过程和演算步骤）

17、（本小题满分10分）

设函数
。

（Ⅰ）求不等式
的解集；

（Ⅱ）若关于x的不等式
在[0,1]上无解，求实数t的取值范围。

18、（本小题满分12分）

△ABC中，内角A、B、C所对的边a、b、c依次成公比小于1的等比数列，且
。

（Ⅰ）求内角B的余弦值；（Ⅱ）若
，求△ABC的面积。

19、（本小题满分12分）

如图1，在△ABC中，BC=3，AC=6，∠C=90°，且DE∥BC，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图2。

（Ⅰ）求证：BC⊥平面A1DC；

（Ⅱ）若CD = 2，求BE与平面A1BC所成角的正弦值。

20、（本小题满分12分）

某企业招聘工作人员，设置、、
三组测试项目供参考人员选择，甲、乙、丙、

丁、戊五人参加招聘，其中甲、乙两人各自独立参加组测试，丙、丁两人各自独立

参加组测试．已知甲、乙两人各自通过测试的概率均为
，丙、丁两人各自通过测

试的概率均为
．戊参加
组测试，
组共有6道试题，戊会其中4题.戊只能且必

须选择4题作答，至少答对3题则竞聘成功.

（Ⅰ）求戊竞聘成功的概率；

（Ⅱ）求参加组测试通过的人数多于参加组测试通过的人数的概率；

（Ⅲ）记、组测试通过的总人数为
，求
的分布列和期望。

21、（本小题满分12分）

如图，椭圆
的离心率为
，轴被曲线
截得的线段长等于椭圆
的短轴长。
与轴的交点为
，过点
的两条互相垂直的直线
分别交抛物线于
两点，交椭圆于
两点，

（Ⅰ）求
、
的方程；

（Ⅱ）记
的面积分别为
，若
，

求直线AB的方程。

22、（本小题满分12分）

设函数

，
.

（Ⅰ）若
与
在它们的交点
处有相同的切线，求实数，
的值；

（Ⅱ）当
时，若函数
在区间
内恰有两个零点，求实数的取值范围；

（Ⅲ）当
，
时，求函数
在区间
上的最小值。

高二年级下学期第一次月考

理科数学试题答案

一、选择题：DAABDC ACBCBC

二、填空题：13、
； 14、
； 15、
； 16、①③④

17、（Ⅰ）
，

所以原不等式转化为
……3分

所以原不等式的解集为
………………….6分

（Ⅱ）只要
，……………………….8分

由（Ⅰ）知
解得
或
………………….10分

18．解：(Ⅰ)

……………………….2分

………………………4分

又因为
所以
……………………….6分

(Ⅱ)
……………………….8分

又因为
……………………….10分

所以
……………………….12分

19、解：（Ⅰ） DE
，DE//BC， BC
…………2分

又
，AD

…………4分

（Ⅱ）以D为原点，分别以
为x,y,z轴的正方向，

建立空间直角坐标系D－xyz …………5分

说明：建系方法不唯一 ，不管左手系、右手系只要合理即可

在直角梯形CDEB中，过E作EFBC，EF=2，BF=1，BC=3…………6分

B（3，0，－2）E（2，0，0）C（0，0，－2）A1（0，4，0） …………8分

…………9分

设平面A1BC的法向量为

令y=1,
…10分

设BE与平面A1BC所成角为
，
…………12分

20、解： (I) 设戊竞聘成功为A事件，则

…………3分

（Ⅱ）设“参加组测试通过的人数多于参加组测试通过的人数”为B事件

…………6分

（Ⅲ）
可取0，1，2，3，4

0

1

2

3

4



P














…………12分

21、解：（Ⅰ）
又
，得

………3分

（Ⅱ）设直线

，同理可得

……………………………5分

同理可得

……………………8分

所以

若
则
解得
或
…………10分

所以直线AB的方程为
或
。……………………12分

22、解：(Ⅰ)因为
，
，

所以
，
.…………………………………………………1分

因为曲线
与
在它们的交点
处有相同切线，

所以
,且
。即
,且
, ……………2分

解得
.……………………………………………………………………3分

（Ⅱ）当
时，

，

所以
．

令
，解得
．

当变化时，
的变化情况如下表：

















0



0







↗

极大值

↘

极小值

↗



所以函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
．

故
在区间
内单调递增，在区间
内单调递减．……………………5分

从而函数
在区间
内恰有两个零点，当且仅当

即
解得
．

所以实数的取值范围是
．……………………………………………………7分

（3）当
，
时，
．

所以函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
．

由于
，
，所以
．…………………………………8分

①当
，即
时，

．………………………………………………………9分

②当
时，

．………………………………………………………………10分

③当
时，
在区间
上单调递增，

．……………………………………………………11分

综上可知，函数
在区间
上的最小值为

………………………………12分