2013-2014年第二学期高二年级第一次月考

数学 理科 试卷

（考试时间：120分钟，满分：150分） 命题教师：王同山

一、选择题（5×12=60分）

1. 复数z=i2(1+i)的虚部为（ ）

A. 1 B. i C. -1 D. - i

2观察下列各式：
=3125，
=15625，
=78125，…，则
的末四位数字为

A．3125 B．5625 C．0625 D．8125

3．若复数z满足
(其中i是虚数单位)
，则z对应的点位于复平面的

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率

A．
B．
C．
D

5．在四边形ABCD中，“
=2
”是“四边形ABCD为梯形”的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

6.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 学科网首发

A．4种 B．10种 C．18种 D．20种

7．命题: “

≤
”的否定为（　　）

A.


B.

C.


D.

≤

8．双曲线以一正方形两顶点为焦点，另两顶点在双曲线上，则其离心率为（ ）

A. 2
B.
+1 C.
D. 1

9 ．设
是两条不同的直线,
是两个不同的平面,下列命题中正确的是 （　　）

A．若
,
,
,则
B．若
,
,
,则

C．若
,
,
,则
D．若
,
,
,则

10如图，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是（ ）

（A）AC⊥SB

（B）AB∥平面SCD

（C）SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

（D）AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

11.已知函数
，若过点
且与曲线
相切的切线方程为
，则实数的值是( )

A.
B.
C.6 D.9

12. 在集合
中任取一个偶数和一个奇数
构成以原点为起点的向量
．从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形．记所有作成的平行四边形的个数为，其中面积不超过的平行四边形的个数为，则
( )

A．
B．
C．
D．

二、填空题（4×5=20分）

13．曲线
与坐标轴围成的面积是___________.

14.从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为______

15.观察下列等式

1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

……

照此规律，第个等式为 。

16.已知曲线
，则曲线过点
的切线方程___________。

三、解答题（共70分）

(本题10分）已知ad≠bc，求证

18．（本题12分）旅游公司为4个旅游团提供5条旅游线路，每个旅游团任选其中一条.

（1）求4个旅游团选择互不相同的线路共有多少种方法;

（2）求恰有2条线路被选中的概率;

19.（本题12分）观察1，1+3，1+3+5，1+3+5+7的值；猜测1+3+5+…+（2n-1）的结果；用数学归纳法证明你的猜想。

20. （本题满分6×2=12分）

棱锥
中，底面
是矩形，
底面
，是
的中点，已知
，
，
，求：

求证：PA//平面BED；

（2）求异面直线
与
所成的角的大小.

21. （本题满分 4×3=12分） 已知椭圆
＞b＞
的离心率为
且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为
.斜率为
的直线
过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m）.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求m的取值范围.

（3）试用m表示△MPQ的面积S，并求面积S的最大值.

22. （本题满分 4×3=12分） 设
,函数
.

（Ⅰ）若
，求曲线
在
处的切线方程；

（Ⅱ）若
无零点,求实数的取值范围；

（Ⅲ）若
有两个相异零点
,求证:
.

高二数学第一次月考参考答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



C

D

A

B

A

B

B

B

D

D

D

B





13 3 14
15 3x+y-5=0. 16.n+(n+1)(n+2)…(3n-2)=

17.略

18.（1）
（2）P=

19.猜想1+3+5+7+…+（2n-1)=n

证明 （1）当n=1时，猜想左边=1 右边=1 猜想成立

假设当n=k时1+3+5+7+…+（2n-1)k
猜想成立

当n=k+1时 ， 1+3+5+7+…+（2k-1)+(2k+1)=k
+(2k+1)=(k+1)

这就是说当n=k+1时，猜想成立。所以当你n
命题都成立。

20.

(1)连接AC,BD交于点O，连接OE

E为PC中点

21.解：（1）依题意可得
解得

从而
所求椭圆方程为
…………………4分

（2）直线
的方程为

由
可得

该方程的判别式△=
＞0恒成立.

设
则
………………5分

可得

设线段PQ中点为N，则点N的坐标为
………………6分

线段PQ的垂直平分线方程为

令
，由题意
………………………………………………7分

又
，所以0＜＜
…………………………………………………8分

（3）点M
到直线
的距离

于是

由
可得
代入上式，得

即
＜＜
.…………………………………………10分

设
则

而
＞0
0＜m＜
＜0
＜m＜

所以
在
上单调递增，在
上单调递减.

所以当
时，
有最大值
……………………11分

所以当
时，△MPQ的面积S有最大值
…………………12分

22.解：方法一在区间
上,
. ……………………1分

（1）当
时，
，则切线方程为
，即
…………4分

（2）①若
,则
,
是区间
上的增函数,

,
,

,函数
在区间
有唯一零点. …………5分

②若
,
有唯一零点
. …………6分

③若
,令
得:
.

在区间
上,
,函数
是增函数;

在区间
上,
,函数
是减函数;

故在区间
上,
的极大值为
.

由
即
,解得:
.

故所求实数a的取值范围是
. …………8分

方法二、函数
无零点
方程
即
在
上无实数解 …………

令
，则

由
即
得：
…

在区间
上,
,函数
是增函数;

在区间
上,
,函数
是减函数;

故在区间
上,
的极大值为
.

注意到
时，
；
时
；
时，

故方程
在
上无实数解

.

即所求实数a的取值范围是
. …………9分

[注:解法二只说明了
的值域是
,但并没有证明.]

(3) 设

,

原不等式

令
,则
,于是
. …………10分

设函数

,

求导得:

故函数
是
上的增函数,

即不等式
成立,故所证不等式
成立. ……………………12分