嘉祥一中2013—2014学年高二3月质量检测

数学（理）

一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 若复数
是纯虚数，则实数a的值为 （　　）

A．1 B．2 C．1或2 D．-1

2. 观察按下列顺序排列的等式：
，
，
，
，
，猜想第
个等式应为（　　）

A．
B．

C.
D．

3．定积分
等于(　　)

A．－6

B
．6 C．－3 D．3

4．用反证法证明命题“若实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是(　　)

A．假设a，b，c都是偶数

B．假设a，b，c都不是偶数

C．假设a，b，c至多有一个是偶数

D．假设a，b，c至少有两个是偶数

5.函数
的单调递增区间是 ( )

A.
B.(0,3) C.(1,4) D.

6．函数
的零点个数为（ ）

7.若函数
在其定义域的一个子区间
上不是单调函数，则实数
的取值范围（ ）

A．
B．
C．
D．

8.函数
的图像可能是 ( )

9．用数学归纳法证明不等式
时的过程中，由
到
时，不等式的左边 （　　）

A．增加了一项

B．增加了两项

C．增加了两项
，又减少了一项

D．增加了一项
，又减少了一项

10．设函数
在区间（0，4）上是减函数，则
的取值范围是 ( )

A.
B.
C.
D.

11. 若函数
是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 若
则
的大小关系为（ ）

A．
B．

C．
D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卷的相应位置)

13.函数y＝xlnx的导数是＿＿＿＿＿。

14．定积分
＝________.

15．从如图所示的长方形区域内任取一个点M
(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________．

16.如果函数y=f(x)的导函数的图像如右图所示
，给出下列判
断：

(1) 函数y=f(x)在区间（3，5）内单调递增；

(2) 函数y=f(x)在区间（－
，3）内单调递减；

(3) 函数y=f(x)在区间（-2，2）内单调递增；

(4) 当x= －
时，函数y=f(x)有极大值;

(5) 当x=2时，函数y=f(x)有极大值;

则上述判断中正确的是 .

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

已知函数y=x3－3x2.

（1）求函数的极小值；

（2）求函数的递增区间.

18.（本小题满分12分）

在边长为60cm的正方形铁皮的四切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？

19.（本小题满分12分）

已知函数
，且
是函数
的一个极小值点.

（1）求实数
的值；

（2）求
在区间
上的最大值和最小值.

20. （本小题满分12分）

一轮船行驶时，单位时间的燃料费u与其速度v的立方成正比，若轮船的速度为每小时10km?时，燃料费为每小时35元，其余费用每小时为560元，这部分费用不随速度而变化，求轮船速度为多少时，轮船行每千米的费用最少(轮船最高速度为bkm/小时)？

21．（本小题满分12分）

如图，已知在四棱锥
中，底面
是矩形，
平面
，
，
，
是
的中点，
是线段
上的点．

（1）当
是
的中点时，求证：
平面
；

（2）要使二面角
的大小为
，试确定
点的位置．

[来源:Zxxk.Com]

22.（本小题
满分12分）[来源:学科网]

已知函数
与函数
在点
处有公共的切线，设

.

（1） 求
的值

（2）求
在区间
上的最小值.

参考答案：

1-5 BBABD 6-10 AAACD 11-12 CB

13.lnx+1； 14. y＝x； 15. 16.③⑤；

17. 解：（1） ∵ y=x3－3x2， ∴
=3x2－6x
，

当
时，
；当
时，
.

∴ 当x=2时，函数有极小值-4.

（2）由
=3x2-6x >0，解得x<0或x>2，

∴ 递增区间是
，
.

18
.解：设箱底的边长为xcm，箱子的容积为V，则

V＝x2?
＝－
＋30 x2

＝－
＋60 x

当
＝0时，x＝40或x＝0（舍去），

x＝40是函数V的唯一的极值点，也就是最大值点，

当x＝40时，V＝16000

所以，当箱底的边长是40cm时，箱子的容积最大，最大容积是16000cm3。

19.（1）
.

是函数
的一个极小值点，

.

即
，解得
.

经检验，当
时，
是函数
的一个极小值点.

实数
的值为
.

（2）由（1）知，
.

.

令
，得
或
.

当
在
上变化时，
的变化情况如下：







































↗



↘



↗







当
或
时，
有最小值
；

当
或
时，
有最大值
.

20．解：设轮船的燃料费u与速度v之间的关系是：u=kv3（k≠0），由已知，当v=10时，u=35，∴35=k×103?k＝
,∴u＝
v3．∴轮船行驶1千米的费用y=u?
+560?
=
v2+
,

用导数可求得当b
20时，当v=20时费用最低为42元，当b<20时,费用最低为

元;?答：当b
20时,当轮船速度为20km/h时，轮船行每千米的费用最少，最少费用为42元.当b<20时,费用最低为
元.

21. （1）由已知，
两两垂直，分别以它们所在直线为
轴建立空间直角坐标系
．[来源:学,科,网]

则
，
，则

，
，
，

设平面
的法向量为
[来源:学科网]

则
，

令
得

由
，得

又
平面
，故
平面

（2）由已知可得平面
的一个法向量为
，

设
，设平面
的法向量为

则
，令
得

由
，

故，要使要使二面角
的大小为
，只需

22.（1）因为
所以
在函数
的图象上

又
，所以

所以

（2）因为
，其定义域为

当
时，
，

所以
在
上单调递增

所以
在
上最小值为

当
时，令
，得到
(舍)

当
时，即
时，
对
恒成立，

所以
在
上单调递增，其最小值为

当
时，即
时，
对
成立，

所以
在
上单调递减，

其最小值为
[来源:学科网]

当
，即
时，
对
成立，
对
成立

所以
在
单调递减，在
上单调递增

其最小值为

综上，当
时，
在
上的最小值为

当
时，
在
上的最小值为

当
时，
在
上的最小值为
.