高二年级第二学期第一次阶段检测

数 学 试 题（理） （2014.3）

命题人：罗红孝

注意事项：

1．本试题分第I卷和第Ⅱ卷两部分，第I卷为选择题，共50分；第Ⅱ卷为非选择题，共100分，满分l50分．考试时间为120分钟．

2．答第I卷前，考生务必将姓名、准考证号、考试科目填写清楚，并用2B铅笔涂写在答题卡上，将第I卷选择题的答案涂在答题卡上．

3．答第Ⅱ卷时须将答题纸密封线内的项目填写清楚，第Ⅱ卷的答案用中性笔直接答在答题纸指定的位置上．考试结束后，只收答题卡和第Ⅱ卷答题纸．

第I卷(选择题共50分)

一、选择题：本大题共l0小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．在曲线
上切线的倾斜角为的点是(　　)

A．(0,0) B．(2,4) C. D.

2. 若直线
的方向向量为
,平面
的法向量为
,则能使
的是（　　）

A．
B．

C．
D．

3. 设
,则此函数在区间(0,1)内为（　　）

A．单调递增 B. 有增有减 C.单调递减 D.不确定

4. 已知
三点不共线，点
为平面
外的一点，则下列条件中，

能得到
平面
的充分条件是（ ）

A.
； B.
；

C.
； D.

5.
等于

A.1 B.
C.
D.

6. 正方体
-
棱长为1,E是
中点,则E到平面
的距离是

A．
B．
C．
D．

7. 设
是函数
的导函数，
的图象如图所示，

则
的图象最有可能的是（ ）

8. 如图，
是直三棱柱，
，点
、
分别是
、
的中点，

若
，则
与
所成角的余弦值是（ ）

A．
B．

C．
D．

9． 函数
，已知
在
时取得极值，则
等于(　　)

A．2 B．3 C．4 D．5

10. 在平面直角坐标系中,
,沿x轴把平面直角坐标系折成120(的二面角后,

则线段AB的长度为（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷(非选择题共100分)

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11.设
.若曲线
与直线
，
所围成封闭图形的面积为
，则
=__ ____.

12.如图，在正方体
中，
、
分别是
、
的 中点，

则异面直线
与
所成角的大小是____________.

13．函数
在区间
上的最大值是 .

14.设函数
，若关于
的方程
有三个不同实根，

则
的取值范围是______________ .

15.给出下列命题

①已知
,则
;

②
为空间四点,若
不构成空间的一个基底,则
共面;

③已知
,则
与任何向量不构成空间的一个基底;

④已知
是空间的一个基底,则基向量
可以与向量
构成空间另一个基底.

其中所有正确命题的序号为______________.

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．(本小题满分12分)

设函数
的图象与直线
相切于
．

（Ⅰ）求
,
的值；

（Ⅱ）讨论函数
的单调性．

17.（本小题满分12分）

已知三棱锥
中，
平面
，AB⊥AC，
，

N为AB上一点，
,
分别
为PB,BC的中点.

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）求
与平面
所成角的大小.

18（本小题满分12分）

设
的导数
满足
，其中常数
．

（Ⅰ）求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ） 设
，求函数
的极值．

19.（本小题满分12分）

如图，已知正三棱柱
的侧棱长和底面边长均为1，

是底面
边上的中点，
是侧棱
上的点，且

（Ⅰ）求二面角
的平面角的余弦值；

（Ⅱ）求点
到平面
的距离。

20（本小题满分13分）

某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量
（单位：千克）与销售价格
（单位：元/千克）满足关系式
=
，其中3＜
＜6，
为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。

（I） 求
的值

（Ⅱ）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格
的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。

21.（本小题满分14分）

如图所示,在底面是菱形的四棱锥
中,

,


,点
在
上,且
.

（Ⅰ）证明：
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的大小；

(Ⅲ)棱
上是否存在一点
,使
平面
?证明你的结论。

2012级高二年级下学期阶段测试

数学试题（理）参考答案 （2014.3）

一、选择题：

1-5 DDCBC , 6-10 BCADB

二、填空题： 11.
12.
13.
14.
15. ①②④

三、解答题： 16（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）求导得

由于
的图象与直线
相切于点（1，－11）

所以
，即
解得
.（6分）

（Ⅱ）由
得

令
，解得
；又令
，解得

所以当
时，
是增函数；当
时，
也是增函数；

但
时，
是减函数. （12分）

17. （本题满分12分）

18．（本小题满分12分）

解：（I）因
故

令

由已知

又令
由已知

因此
解得

因此

又因为
故曲线
处的切线方程为

（6分）

（II）由（I）知
，从而有

令

当
上为减函数；

当
在（0，3）上为增函数；

当
时，
上为减函数；

从而函数
处取得极小值
处取得极大值
（12分）

19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则
（0，0，1），M（0，
，0）,C(0,1,0), N (0,1,
) , A (
)，所以，

，
,
。

因为
所以
,同法可得
。故﹤
﹥为二面角
—AM—N的平面角

∴
﹤
﹥＝

故所求二面角
—AM—N的平面角的余弦值为
。（6分）

（Ⅱ）设n=(x,y,z)为平面AMN的一个法向量，则由
得

故可取

设
与n的夹角为a，则
。

所以
到平面AMN的距离为
。（12分）

20（本小题满分13分）

解:（I）∵当
=5时，
=11，∴
=11，解得
=2；（4分）

（II）由（I）知该商品每日的销售量
=
（3＜
＜6），

∴该商城每日的销售该商品的利润

=
=
（3＜
＜6），（7分）

∴
=
=
（9分）

当
变化时，
，
的变化情况如下表：

（3,4）

4

（4,6）





＋

0

－





单调递增

极大值42

单调递减



由上表可得，
=4是函数
在区间（3,6）内的极大值点，也是最大值点，

∴当
=4时，
=42. （13分）

答：当销售价格定为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.

21、（本小题满分14分）

解：（1）∵PA=AC=a，PB=PD=

∴

∴PA⊥AB且PA⊥AD，∴PA⊥平面ABCD，

（2）∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，设AC∩BD=O，（5分）

∴以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标分别为：

∵ 点E在PD上,且PE：ED=2：1. ∴
，即：

∴
，即点E的坐标为

又平面DAC的一个法向量为

设平面EAC的一个法向量为

，

由
，得

∴

∴由图可知二面角E-AC-D的大小为
.（10分）

（3）设在CP上存在点F，满足题设条件，

由
，得

∴

依题意，则有

∴

∴点F为PC中点时,满足题设条件. （14分）