本试卷分第I卷（选择题)和第II卷（非选择题）两部分。第I卷l至2页，第II卷 3至4页。满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1．答题前,考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上， 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。

2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的 黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷 上答题无效。

3．考试结束后，将答题卡收回。

第I卷（选择题，共50分）

一、选择题：（每小题5分，小计50分）

1、从3本不同的书中选2本送给2名同学，每人各1本，则不同的送法种数为（ ）

A．9 B．8 C．6 D．3

2、“
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3
、执行如图3所示的程序框图,如果输入
，则输出的
的值

为（ ）

A．9 B．10 C．11 D．12

4、
（ ）

A．
B．
C．
D．

5、已知命题
若
，则
全为零；命题
若
，则
．给出下列四个复合命题：①
；②
；③
；④
．其中真命题的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

6、过抛物线
的焦点作直线交抛物线于
两点，如果
，那么
的值为（ ）

A．10 B．8 C．6 D．4

7、以下茎叶图记录了甲，乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为
，乙组数据的平均数为
，则
的值分别为（　　）

甲组 乙组

9 0 9 A．2，5 B．5，5

x 2 1 5 y 8 C．5，8 D．8，8

7 4 2 4

8、4名体训生被分派到3所体校去训练，每人到1所体校训练，每所体校至少去1人，则不同的分派方案有（ ）种

A．12 B．24 C．36 D．72

9、已知正四面体
的棱长为
，且
，则
的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

10、我们把离心率为黄金比
的椭圆称之为“优美椭圆”．设
、
是“优美椭圆”

的左、右焦点，则椭圆
上满足
的点
的个数为（ ）

A．0 B．2 C．
4 D．以上答案均不正确

第Ⅱ卷（非选择题，满分100分）

二、填空题（每小题5分，小计25分）

11、若某空间几何体的三视图如图所示，则该几
何体的体积是 ．

12、已知
，则
．

13、6个人站在一起照相，其中甲乙两人必须站在一起，且两人均不与丙相邻的站法种数为 ．

14、某外语组有6人，每人至少会英语和日语中的一门，其中4人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，则不同的选法种数为
．

15、如果不等式
的解集为
，且
，那么实数
的取值范围是
．

三、解答题（16-19题每小题12分，20小题13分，21小题14分，小计75分）

16、已知命题p：方程
有两个不等的负根；命题q：方程
无实根．若“
”为真命题，且“
”为假命题，求实数
的取值范围．

▲

17、如图，在棱长为
的正方体
中,
分别是

的中点．

（1）求直线
与
所成角的正弦值；

（2）求直线
与平面
所成角的正切值．

▲

18、在参加市里主办的科技知识竞赛的学生中随机选取了40名学生的成绩作为样本，这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分
且小于50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分；……第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分
布直方图．在选取的40名学生中：

（1）求成绩在区间内
的学生人数；

（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生，求至少有1名学生成绩在区间
内的概率.

▲

19、已知抛物线
与直线
相交于
、
两点，点
是坐标原点．

（1）求证：
；

（2）当
的面积等于
时，求
的值．

▲

20、如图，已知四棱锥
的底面
是菱形,
，
，
是以
为底边的等腰三角形，且点
为
的中点．

（1）求
证：
平面
；

（2）求二面角
的余弦值；

（3）求三棱锥
的体积．

▲

21、如图，椭圆
经过点
，离心率
，直线
的方程为
．

（1）求椭圆
的方程；

（2）
是经过右焦点
的任一弦(不经过点
),设直线
与直线
相交于点
，记
、
、
的斜率分别为
、
、
．问：是否存在常数
，使得
？若存在求
的值；若不存在，说明理由．

[来源:学科网]

[来源:学科网ZXXK]

射洪中学高2012级第四学期第一次月考试

数学试题（理科）答案

三、解答题：

16、解：若命题
为真命题，则
……………………………………3分

若命题
为真命题，则
…………………………………6分

法一：由已知命题
、
中有且只有一个是真命题．

∴所以实数
的取值范围为
………………………………………………………12分

法二：∵“
”为真命题，则
……………………………………………………8分

“
”为假命题，则
………………………………………………10分

∴所以实数
的取值范围为
…………………
……………………………………12分

17、解：（1）连接
、

∵在正方体
中，
且

∴四边形
为平行四边形……………………………2分

∴
[来源:学。科。网Z。X。X。K]

则
即为直线
与
所成角的平面角……………………………4分

∴
……………………………………………6分

18、解：（1）
[来源:学。科。网Z。X。X。K]

∴成绩在区间
的学生人数为4．……………………………………………………………6分

（2）由（1）知成绩大于等于80分的学生人数为

记“至少有1名学生成绩在区间
为事件
”

则

∴至少有1名学生成绩在区间
内的概率为
……………………………………………12分

19、解：（1）∵
、
两点都在抛物线
上，故不妨设
．

当
时该直线无法与抛物线相交于
、
两点，故
…………
…………………………1分

联立方程
，………………………………………………………3分

则
……………………………………………………………………………5分

∴

即
……………………………………………………………………………………………7分

（2）∵直线
过定点，不妨设为
，

∴
……………………………………………………………………………………………8分

由（1）可知，
………………………………………10分

∴
，

解得
…………………………………………………………………………………………12分

20、解：（1）由已知，
，
，

∴
，即
．

又∵
，

∴
平面
．

设
，显然
是三角形
的中位线，

∴
，

又∵
平面
，
平面
，

∴
平面
．……………………………………………………………………………………4分

（2）由（1）可知
平面
，故不妨以
为原点，如图建立空间直角坐标系．

则
，
，
，

且
是平面
的一个法向量．……………………………………………………………………5分

设平面
的一个法向量为
，则
令

∴
………………………………………………………………………………………7分

设二面角
的大小为
，则

∴二面角
的余弦值为
．………
……………………………………………………9分

（3）∵
，
平面
……………………………1
1
分

∴
．…………………………………………13分

21、解：（1）由
在椭圆上得,
①

依题设知
,则
② [来源:学。科。网]

②代入①解得
.

故椭圆
的方程为
. ………………………………………………………………6分

（2）方法一:由题意可设
的斜率为
,

则直线
的方程为

③

代入椭圆方程
并整理,得
,

设
,则有：
④

在方程③中令
得,
的坐标为
.

从而
.

注意到
共线,则有
,即有
.

所以，

⑤

④代入⑤得
,

又
,所以
.故存在常数
符合题意. ……………………………14分

方法二:设
,则直线
的方程为: