第I卷 选择题 （共60分）

选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.复数z满足
，则复数z在复平面内对应的点位于 （ ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2．“a = 1”是“复数
（
，i为虚数单位）是纯虚数”的（ ）

A 充分不必要 B 必要不充分
C 充要条件 D 既不充分也不必要

3.在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：

①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x
)
＝2x＋1满足增函数的定义是小前提；④函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是大前提．

其中正确的命题是 (　　)．

A．①② B．②④ C．①③ D．②③

4.设a，b，c∈(－∞，0)，则a＋，b＋，c＋(　　)

A．都不大于－2

B．都不小于－2

C．至少有一个不小于－2

D．至少有一个不大于－2

5.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有
架
舰载机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、
丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（ ）

A.
B.
C.
D.

6, 已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x
轴相切于点(1,0)，则f(x)的极值情况为(　　)

A．极大值，极小值0 B．极大值0，极小值

C．极大值0，极小值－ D．极大值－，极小值0

7．已知抛物线y2＝4x的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点，且此双曲线的一条渐

近线方程为y＝2x，则双曲线的焦距等于 (　　)．

A. B．2 C. D．2

8．已知空间四面体
的每条边都等于1，点
分别是
的中点，则
等于　　（ ）

[来

A．

B．
C．
D．

9．函数
的图
象与
轴所围成的封闭图形的面积为（ ）

A.
B.
C.
D.

10．已知双曲线的方程为
，过左焦点
作斜率为
的直线交双曲线的右支于点P，且y轴平分线段
,则双曲线的离心率为（
）

A．
B．
C．
D．

11．把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在右图图案中的
所示的位置上，其中三盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放方法为( )

A．
种 B．
种 C．
种 D．
种

12．已知函数
，则下列结论中正确的是（ ）

A．若
是
的极值点，则
在区间

内是增函数

B．若
是
的极值点，则
在区间

内是减函数

C．

且
，

D．

在
是增函数[来源:Z_xx_k.Com][来源:学科网ZXXK]

第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）

二、填空题 （本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13. 用数学归纳法证明1＋
＋＋…＋1)，第一步要证的不等式是__________________________________________．

14.已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋
x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的
取值范围是________．[来源:学_科_网]

15. 学校资料室有相同的物理书3本，历史书2本，数学书4本，分别借给四个理
科学生和三个文科学生，每人限借与本学科相关的书一本，求共有 种不同的借
法
。

16．如图所示，双曲线－＝1(a，b>0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.则菱形F1B1F2B
2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值＝________.

三、解答题（共6个小题，第17题10分，其余12分,共70分）

17.从4名男生和5名女生中任选5人参加数学课外小组，求在下列条件下各有多少种不同的选法?

(1)选2名男生和3名女生，且女生甲必须入选；

(2)至多选4名女生，且男生甲和女生乙不同时入选.

[来源:学科网ZXXK]

18. 设函数
.

（Ⅰ）若曲线
在点
处与直线
相切，求
的值；

（Ⅱ）求函数
的单调区间与极值点.

19．(本题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2 的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝2 ，M，N分别为PB，PD的中点．

(1)证明：MN∥平面ABCD；

(2) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A
－MN－Q的平面角的余弦值．

20．已知椭圆的中心在原点，焦点
在
轴的非负半轴上，点
到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点
距离的最大值是6.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程和离心率
；

（Ⅱ）若
为焦点
关于直线
的对称点，动点
满足
，问是否存在一个定点
，使
到点
的距离为定值？若存在，求出点
的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.

21. 已知两定点E(-2,0),F(2,0),动点P满足
，由点P向x轴作垂
线段PQ，垂足为Q，点M满足
，点M的轨迹为C.

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）过点D（0，－2）作直线
与曲线C交于A、B两点，点N满足
（O为原点），求四边形OANB面积的最大值，并求此时的直线
的方程.

[来源:Z|xx|k.Com]

22.已知函数f(x)＝x－ln(x＋a)的最小值为0，其中a＞0.

(1)求a的值；

(2)若对任意的x∈[0，＋∞)，有f(x)≤kx2成立，求实数k的最小值.

衡水中学2013—2014学年度第二学期一调考试

高二年级理科数学试卷答案

命题人：陈丽敏 审核人：褚艳春

17. 答案：（1）36　　（2）90

18. （Ⅰ）
,∵曲线
在点
处与直线
相切，

∴

（Ⅱ）∵
,

当
时，
，函数
在
上单调递增，

此时函数
没有
极值点.

当
时，由
，

当
时，
，函数
单调递增，

当
时，
，函数
单调递减，

当
时，
，函数
单调递增，

∴此时
是
的极大值点，
是
的极小值点.

20．[来源:学§科§网Z§X§X§K]

解：(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为
，由已知得

.

所以椭圆的标准
方程为
.……………………6分

离心率
…………………………7分

(2)
,设
由
得[来源:Z。xx。k.Com]

……………………9分

化简得
，即
……………………11分

故存在一个定点
，使
到
点的距离为定值，其定值为
………12分

(2)当k≤0时，取x＝1，有f(1)＝1－ln2＞0，

故k≤0不合题意．
………6分

当k＞0时，令g(x)＝f(x)－kx2，

即g(x)＝x－ln(x＋1)－kx2.

g′(x)＝－2kx＝
.

令g′(x)＝0，得x1＝0，x2＝＞－1
. ……… 8分

①当k≥时， ≤0，g′(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立，因此g(x)在[0，＋∞)上单调递减，从而对任意的x∈[0，＋∞)，总有g(x)≤g(0)＝0，即f(x)≤kx2在[0，＋∞)上恒成立，故k≥符合题意．……… 10分

②当0＜k＜时，＞0, 对于x∈，g′(x)＞0，故g(x)在内单调递增，因此当取x0∈时，g(x0)＞g(
0)＝0，即f(x0)≤kx不成立，故0＜k＜不合题意． 综上，k的最小值为. ……… 12分