河北省正定中学2013-2014学年度高二第二学期第一次月考

数 学 试 题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若复数
的实部与虚部相等，则实数
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．设
为等差数列，公差
，
为其前
项和，若
，则
（ ）

A．18 B．20 C．22 D．24

3.已知命题
R，

R，
给出下列结论：①命题“
”是真命题；②命题“
”是假命题；③命题“
”是真命题 ④命题“
”是假命题, 其中正确的是( )

A.②④ B.②③ C.③④ D.①②③

4.某几何体的三视图如下图所示，它的体积为( )

A.
B.
C.
D.

5.用数学归纳法证明

的过程中，第二步假设当
时等式成立，则当
时应得到( )

A．

B．

C．

D．

6．已知双曲线
（
）的右焦点与抛物线
的焦点相同，则此双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

7.袋中装有完全相同的5个小球，其中有红色小球3个，黄色小球2个，如果不放回的依次摸出2个小球，则在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率是（ ）

A.
B.
C.
D.

8.由直线
与曲线
所围成的封闭图形的面积是（ ）

A.
B.
C.
D.

9.如右图所示的程序框图,输出
的结果的值为( )

A.0 B.1 C.
D.

10.从10名大学生村官中选3个人担任乡长助理，则甲、丙至少有1人入选，而乙没有入选的不同选法的种数为（ ）

A．85 B．56 C．49 D．28

11.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第
行有
个数且两端的数均为
，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如
，
，
，…，则第7行第4个数(从左往右数)为( )



　

　　

　　　

　　　　

………………………………

A.
B.
C.
D.

12.定义在
上的奇函数
，当
时，
则关于
的函数
（
）的所有零点之和为（ ）

A.1-
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.圆
上的动点
到直线
的最短距离为 .

14.
的展开式中的常数项等于 .

15.已知⊿
中，设三个内角
对应的边长分别为
，且
，
，
,则
.

16.在平行四边形
中，
，若将
沿
折叠，使平面
，则三棱锥
外接球的表面积为 .

三、解答题（共6小题，70分，须写出必要的解答过程）

17.等差数列
中,

(1)求
的通项公式;

(2)设

18.已知
为
的三个内角，其所对的边分别为
,且
.

(1)求角
的值；

(2)若
，求
的面积．

19．在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：

(1)该顾客中奖的概率；

(2)该顾客获得的奖品总价值
元的概率分布列．

20.如图，在四棱锥
中，底面
是矩形，
⊥平面
，
，
，
分别是
的中点．

(1)证明：
⊥平面
；

(2)求平面
与平面
夹角的大小．

21.已知过点
的动直线
与抛物线
：
相交于
两点．当直线
的斜率是
时，
.

(1)求抛物线
的方程；

(2)设线段
的中垂线在
轴上的截距为
，求
的取值范围．

22.已知函数
.

（1）求
的单调区间；

（2）设
，若对任意
，均存在
，使得
＜
，求
的取值范围．

（数学试题）答案

ABBCD CCAAC AA
-160 1或2

17.【答案】(Ⅰ)设等差数列
的公差为d,则

因为
,所以
.

解得,
. 所以
的通项公式为
.

(Ⅱ)
,

所以
.

18.解：(1)由2cos2 ＋cos A＝0，得1＋cos A＋cos A＝0，即cos A＝－，

∵0＜A＜π，∴A＝.

(2)由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccos A，A＝，

则a2＝(b＋c)2－bc，又a＝2，b＋c＝4，有12＝42－bc，则bc＝4，

故S△ABC＝bcsin A＝.

19.解析(1)该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率

P＝＝＝.

(2)依题意可知，X的所有可能取值为0,10,20,50,60(元)，且

P(X＝0)＝＝，P(X＝10)＝＝，

P(X＝20)＝＝，P(X＝50)＝＝，P(X＝60)＝＝.

所以X的分布列为：

X

0

10

20

50

60



P















20.(1)证明　如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

∵AP＝AB＝2，BC＝AD＝2，四边形ABCD是矩形，

∴A，B，C，D，P的坐标为A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2，0)，D(0,2，0)，P(0,0,2)．

又E，F分别是AD，PC的中点，∴E(0，，0)，F(1，，1)．

∴＝(2,2，－2)，＝(－1，，1)，＝(1,0,1)．

∴·＝－2＋4－2＝0，·＝2＋0－2＝0.

∴⊥，⊥

∴PC⊥BF，PC⊥EF.又BF∩EF＝F，

∴PC⊥平面BEF.

(2)解　由(1)知平面BEF的一个法向量n1＝＝(2,2，－2)，平面BAP的一个法向量n2＝＝(0,2，0)，

∴n1·n2＝8.

设平面BEF与平面BAP的夹角为θ，

则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝＝，

∴θ＝45°.∴平面BEF与平面BAP的夹角为45°.

21.解　(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率是时，l的方程为y＝(x＋4)，即x＝2y－4.

由得2y2－(8＋p)y＋8＝0，

∴

又∵＝4，∴y2＝4y1，③

由①②③及p＞0得：y1＝1，y2＝4，p＝2，得抛物线G的方程为x2＝4y.

(2)设l：y＝k(x＋4)，BC的中点坐标为(x0，y0)，

由得x2－4kx－16k＝0，④

∴x0＝＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k.

∴线段BC的中垂线方程为y－2k2－4k＝－(x－2k)，

∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为：b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2，

对于方程④，由Δ＝16k2＋64k＞0得k＞0或k＜－4. ∴b∈(2，＋∞)．