本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两卷，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）

1.设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的 (　 　)

A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

2．已知直线m、n和平面α、β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则 ( 　　)

A．n⊥β B．n∥β，或n?β

C．n⊥α D．n∥α，或n?α

3..若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中 (　　)

A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线

C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一与a平行的直线

4.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于(　 　)

A.a2　　　 B．2a2　　 C.a2　　 　D.a2

5.如图,若一个空间几何体的三视图中,正视图和侧视图都是直角三角形,其直角边均为1,则该几何体的体积为（　 　）

A．
B．
C．
D．1

6．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面 （ ）

A．必定都不是直角三角形 B．至多有一个直角三角形

C．至多有两个直角三角形 D．可能都是直角三角形

7．如右图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列结论中错误的是(　 　)

A．AC⊥BE

B．EF∥平面ABCD

C．三棱锥A-BEF的体积为定值

D．△AEF的面积与△BEF的面积相等

8．已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D－ABC的外接球表面积等于 (　　)

A．8π B．16π

C．48π D．不确定的实数

9．已知A、B、C、D为同一球面上的四点，且连接每点间的线段长都等于2，则球心O到平面BCD的距离等于 （ ）

A．
B．
C．
D．

10.三棱锥P－ABC的高PO＝8，AC＝BC＝3，∠ACB＝30°，M、N 分别在BC和PO上，且CM＝x，PN＝2CM，则下面四个图象中大致描绘了三棱锥N－AMC的体积V与x变化关系(x∈(0,3))是 ( )

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11.设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 。

12. 在
中,
,AB=8,
,PC平面ABC,PC=4,M是AB上一个动点,则PM的最小值为 .

13．长方体
中，
，则一只小虫从A点沿长方体的表面爬到
点的最短距离是 。

14．在棱长为1的正方体AC1中，E为AB的中点，点P为侧面BB1C1C内一动点(含边界)，若动点P始终满足PE⊥BD1，则动点P的轨迹的长度为________．

15. 四面体ABCD中，有以下命题：

①若AC⊥BD，AB⊥CD，则AD⊥BC；

②若E、F、G分别是BC，AB，CD的中点，则∠EFG的大小等于异面直线AC与BD所成角的大小；

③若点O是四面体ABCD外接球的球心，则O在面ABD上的射影是△ABD的外心；

④若四个面是全等的三角形，则ABCD为正四面体．

其中正确命题序号是 ．

三、解答题：本大题共6个小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点。

（1）求证：BC1//平面CA1D；

（2）求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B。

17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB//DC，ΔPAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=4
。

（1）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；（2）求四棱锥P-ABCD的体积。

18.在直三棱柱
中，
，
，且异面直线
与
所成的角等于
，设
．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求平面
与平面
所成的锐二面角的大小．

19.如图所示，已知PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点，过A作AE⊥PC于

点E，AF⊥PB于点F，求证：

(1)AE⊥平面PBC；

(2)平面PAC⊥平面PBC；

(3)PB⊥EF.

20.如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在

平面垂直于底面ABCD.

(1)求证：AD⊥PB.

(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．

21.三棱锥P-ABC中,PC、AC、BC两两垂直，BC=PC=1，AC=2，E、F、G分别是AB、AC、AP的中点。

（1）证明：平面GFE//平面PCB；

（2）求二面角B-AP-C的正切值；

（3）求直线PF与平面PAB所成角的正弦值。

高二高二理科数学 参考答案

1~10 ADABA DDBBA

11~15 6πa2 2


①③

16.解答：（1）连接AC1交A1C于E，连接DE，∵AA1C1C为矩形，则E为AC1的中点。

又CD平面CA1D，∴平面CA1D⊥平面平面AA1B1B。

又ΔPAD是边长为4的等边三角形，∴PO=
。

18.解:（1）
，

就是异面直线
与
所成的角，

即
，……（2分）

连接
，又
，则

为等边三角形，……………………………4分

由
，

，

；………5分

（2）取
的中点，连接
，过作
于，

连接
，
,

平面

又
，所以
平面
，即
，

所以
就是平面
与平面
所成的锐二面角的平面角。…………7分在
中，
，
，
,

，…………………………11分

因此平面
与平面
所成的锐二面角的大小为
。…………12分

说明：取
的中点，连接
，…………同样给分（也给12分）

19证明：(1)因为AB是⊙O的直径，

所以∠ACB＝90°，即AC⊥BC.

又因为PA⊥⊙O所在平面，即PA⊥平面ABC.

又BC?平面ABC，所以BC⊥PA.

又因为AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC.

因为AE?平面PAC，所以BC⊥AE.

又已知AE⊥PC，PC∩BC＝C，

所以AE⊥平面PBC.

(2)因为AE⊥平面PBC，且AE?平面PAC，

所以平面PAC⊥平面PBC.

(3)因为AE⊥平面PBC，且PB?平面PBC，

所以AE⊥PB.

又AF⊥PB于点F，且AF∩AE＝A，

所以PB⊥平面AEF.

又因为EF?平面AEF，所以PB⊥EF.

解析：(1)方法一，如图，取AD中点G，连接PG，BG，BD.

∵△PAD为等边三角形，∴PG⊥AD，

又∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD.

在△ABD中，∠A＝60°，AD＝AB，∴△ABD为等边三角形，∴BG⊥AD，

∴AD⊥平面PBG，∴AD⊥PB.

方法二，如图，取AD中点G

∵△PAD为正三角形，∴PG⊥AD

又易知△ABD为正三角形

∴AD⊥BG.

又BG，PG为平面PBG内的两条相交直线，

∴AD⊥平面PBG.

∴AD⊥PB.

(2)连接CG与DE相交于H点，

在△PGC中作HF∥PG，交PC于F点，

∴FH⊥平面ABCD，

∴平面DHF⊥平面ABCD，

∵H是CG的中点，∴F是PC的中点，

∴在PC上存在一点F，即为PC的中点，使得平面DEF⊥平面ABCD.

21.解答：（1）因为E、F、G分别是AB、AC、AP的中点，所以EF//BC，GF//CP。因为EF，GF平面PCB，所以EF//平面PCB，GF//平面PCB。又EF∩GF=F，所以平面GFE//平面PCB。

（2）过点C在平面PAC内作CH⊥PA，垂足为H，连接HB。
因为BC⊥PC，BC⊥AC，且PC∩AC=C，所以BC⊥平面PAC，所以HB⊥PA，所以∠BHC是二面角B-AP-C的平面角。依条件容易求出CH=
，所以tan∠BHC=
，所以二面角B-AP-C的正切值是
。

（3）如图，设PB的中点为K，连接KC，AK，因为ΔPCB为等腰直角三角形，所以KC⊥PB；又AC⊥PC，AC⊥BC，且PC∩BC=C，所以AC⊥平面PCB，所以AK⊥PB，又因为AK∩KC=K，所以PB⊥平面AKC；又PB平面PAB，所以平面AKC⊥平面PAB。在平面AKC内，过点F作FM⊥AK，垂足为M。因为平面AKC⊥平面PAB，所以FM⊥平面PAB，连接PM，则∠MPF是直线PF与平面PAB所成的角。容易求出PF=
，FM=
，所以sin∠MPF=
=
.即直线PF与平面PAB所成的角的正弦值是