本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两卷，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）

1.设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的 (　　 )

A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

2.，是不同的直线，，
是不同的平面，则下列正确命题的序号是 ( )

A.若
，
， 则
； B.若
，
， 则
；

C. 若
，
，则
； D.若
，
，则
．

3.下列命题正确的是 （　 　）

A．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行

B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行

C．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行

D．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行

4.如图,若一个空间几何体的三视图中,正视图和侧视图都是直角三角形,其直角边均为1,则该几何体的体积为（　　）

A．
B．
C．
D．1

5．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为 (　 　)

A. B. C．8π D.

6.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于(　 　)

A.a2　　 　 B．2a2　　　 C.a2　　　 D.a2

7．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面 （ ）

A．必定都不是直角三角形 B．至多有一个直角三角形

C．至多有两个直角三角形 D．可能都是直角三角形

8．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

9．如右图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F， 且EF＝，则下列结论中错误的是(　　)

A．AC⊥BE B．EF∥平面ABCD C．三棱锥A-BEF的体积为定值 D．△AEF的面积与△BEF的面积相等

10．已知A、B、C、D为同一球面上的四点，且连接每点间的线段长都等于2，则球心O到平面BCD的距离等于 （ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11.设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为

12.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为C1D1的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为

13．长方体
中，
，则一只小虫从A点沿长方体的表面爬到
点的最短距离是 ．

14.在
中,
,AB=8,
,PC平面ABC,PC=4,M是AB上一个动点,则PM的最小值为

15．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论中正确的是 _________．

①BD∥平面CB1D1；

②AC1⊥平面CB1D1；

③AC1与底面ABCD所成角的正切值是；

④CB1与BD为异面直线．

三、解答题：本大题共6个小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点。

（1）求证：BC1//平面CA1D；

（2）求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B。

17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB//DC，ΔPAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=4
。

（1）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；（2）求四棱锥P-ABCD的体积。

18.已知直角△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC中点．

(1)求证：SD⊥平面ABC；

(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.

19.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．

(1)求证：PB⊥DM；

(2)求BD与平面ADMN所成的角．

20.如图所示，已知PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点，过A作AE⊥PC于

点E，AF⊥PB于点F，求证：

(1)AE⊥平面PBC；

(2)平面PAC⊥平面PBC；

(3)PB⊥EF.

21. 如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.

(1)求证：AE⊥BE；

(2)设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.

 高二文科数学 参考答案

1~10 AACAB BDCDB

11~15 6πa2

2
①②④

16.解答：（1）连接AC1交A1C于E，连接DE，∵AA1C1C为矩形，则E为AC1的中点。

又CD平面CA1D，∴平面CA1D⊥平面平面AA1B1B。

17.解答：（1）在ΔABD中，

6

（2）过P作PO⊥AD，∵面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，即PO为四棱锥P-ABCD的高。又ΔPAD是边长为4的等边三角形，∴PO=
。

12

(2)方法一，若AB＝BC，则BD⊥AC，

由(1)可知，SD⊥面ABC，而BD?面ABC，∴SD⊥BD，

∵SD⊥BD、BD⊥AC，SD∩AC＝D，∴BD⊥面SAC.

方法二，若AB＝BC，则BD⊥AC.由(1)知SD⊥平面ABC，又SD?平面SAC，

∴平面ABC⊥平面SAC，又平面ABC∩平面SAC＝AC.

∴BD⊥平面SAC.

19(1)∵N是PB的中点，PA＝AB，

∴AN⊥PB.∵∠BAD＝90°，∴AD⊥AB.

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD.

∵PA∩AB＝A，∴AD⊥平面PAB.

∴AD⊥PB.

又∵AD∩AN＝A，

∴PB⊥平面ADMN.

∵DM?平面ADMN，∴PB⊥DM.

(2)连接DN，∵PB⊥平面ADMN，

∴∠BDN是BD与平面ADMN所成的角，

在Rt△BDN中，sin∠BDN＝＝＝，

∴∠BDN＝30°，

即BD与平面ADMN所成的角为30°.

20. 证明：(1)因为AB是⊙O的直径，

所以∠ACB＝90°，即AC⊥BC.

又因为PA⊥⊙O所在平面，即PA⊥平面ABC.

又BC?平面ABC，所以BC⊥PA.

又因为AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC.

因为AE?平面PAC，所以BC⊥AE.

又已知AE⊥PC，PC∩BC＝C，

所以AE⊥平面PBC.

(2)因为AE⊥平面PBC，且AE?平面PAC，

所以平面PAC⊥平面PBC.

(3)因为AE⊥平面PBC，且PB?平面PBC，

所以AE⊥PB.

又AF⊥PB于点F，且AF∩AE＝A，

所以PB⊥平面AEF.

又因为EF?平面AEF，所以PB⊥EF.

21解析：(1)∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，

∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC.

又∵BF⊥平面ACE，

∴AE⊥BF，

∴AE⊥平面BCE，

又BE?平面BCE，∴AE⊥BE.

(2)在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，在△BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连接MN，则由比例关系易得CN＝CE.

∵MG∥AE，MG?平面ADE，AE?平面ADE，

∴MG∥平面ADE.

同理，GN∥平面ADE.

又∵GN∩MG＝G，

∴平面MGN∥平面ADE.

又MN?平面MGN，∴MN∥平面ADE.

∴N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点．