一.选择题（每小题5分，共50分）

1．两条异面直线所成角的范围是（　　 ）

A．
B.
C.
D.

2．一条直线上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是(　 　)

A．l∥α B．l⊥α C．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l?α

3．如图所示，已知PA垂直于△ABC所在平面，且∠ACB＝90°，连结PB、PC，则图形中互相垂直的平面有(　 　)

A．一对 B．两对 C．三对 D．四对[来源:学科网ZXXK]

4．如图在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在(　 　)

A．直线AB上 　 　B．直线BC上
C．直线AC上 　 D．△ABC内部

5．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为＝(　 　)

A. B. C. D.

第3题图 第4题图 第5题图

6．有以下四个命题： 其中真命题的序号是 （　 ）

①若
且
，则
； ②若
且
，则
；

③若
且
，则
； ④若
且
，则
．

①②
③④
① ④
②③

7．如图：四面体P－AB
C为正四面体，M为PC的中点，则BM与AC所成的角的
余弦值为(　 　)

A. B. C. D．0

8．
△ABC两直角边分别为3、4，PO⊥面ABC，O是△ABC的内心，PO=
，则点
P 到△ABC的斜边AB的距离是（ ）

A．
B．
C．
D．2

9．如图，四面体
的六条边均相等，
分别是
的中点，则下列四个结论中不成立的是 ( )

A．平面
平面
B．
平面

C．
//平面
D．平面
平面

10．正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为(　 　)

A.＋2 B.＋ C.＋ D.

二.填空题（每小题4分，共28分）

11．已知两平面的法向量分别为m＝(1,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角大小为________．

12．正四面体ABCD棱长为2，E、F分别为BC、AD中点，则EF的长为________．

13．如图，平面ABC⊥平面BDC，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，则AD＝________.

14．棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C、M、D1作正方体的截面，则截面的面积是________．

15．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是
，这个长方体对角线的长是 ．

16．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：

①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.

以上四个命题中，正确命题的序号是________．

三、解答题

18、（本小
题14分）在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB和CD成60°角(见下图). 求B、D间的距离．

19、（本小题14分）如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E、F分别为AB、SC的中点．

求证：EF∥平面SAD.

20（本小题14分）如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB、BC、AD、DC分别与平面α相交于点E、G、H、F.

求证：E、F、G、H四点共线(在同一条直线上)．

21、（本小题15分）如图，棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，

PA=AD=2，BD=
.

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）求二面角P—CD—B的大小；

（Ⅲ）求点C到平面PBD的距离.[来源:学+科+网Z+X+X+K]

22、（本小题15分）如图，在五棱锥P-ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝2AE＝4，三角形PAB是等腰三角形．

(1)求证：平面PCD⊥平面PAC；

(2)求直线PB与平面PCD所成角的大小；

(3)求四棱锥P-ACDE的体积．

2013/2014学年第一学期嵊泗中学第一次月考

高二（4～8班）数学答卷

选择题（每题5分）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



B

D

C

A

D

D

B

D

A

C





填空题（每题4分，共28分）

11. 60°或120° 12.____ ______ 13. a 14. 

15. _____
_ 16. __①③_______17. ____①③④?②或②③④?①_______

三、解答题

解析：∵ ∠ACD＝90°，∴ ·＝0.

同理·＝0.

∵ AB和CD
成60°角，∴
〈，〉＝60°或120°.

∵ ＝＋＋，

∴ 2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·

＝2＋2＋2＋2·

＝3＋2×1×1×cos 〈，〉

＝

∴ ||＝2或，即B、D间的距离为2或.

19、（本小题14分）如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E、F分别为AB、SC的中点．

求证：EF∥平面SAD.

证明：法一：作FG∥DC交SD于点G，

则G为SD的中
点．

连接AG，FG綊CD，

又CD綊AB，且E为AB的中点，

故FG綊AE，四边形AEFG为平行四边形．

∴ EF∥AG，又∵ AG?平面SAD，EF?平面SAD，

∴ EF∥平面SAD.

法二：取线段CD的中点M，连接ME、MF，

∵ E、F分别为AB、SC的中点，

∴ ME∥AD，MF∥SD，

又∵ ME，MF?平面SAD，

∴ ME∥平面SAD，

MF∥平面SAD，

∵ ME、MF相交，∴ 平面MEF∥平面SAD，

∵ EF?平面MEF，∴ EF∥平面SAD.

21、（本小题15分）如图，棱
锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，

PA=AD=2，BD=
.

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）求二面角P—CD—B的大小；

（Ⅲ）求点C到平面PBD的距离.

方法一：证：（Ⅰ）在Rt△BAD中，AD=2，BD=
， ∴AB=2，

ABCD为正方形，因此BD⊥AC. ∵PA⊥平面ABCD，BD(平面ABCD，∴BD⊥PA .

又∵PA∩AC=A ∴BD⊥平面PAC.

解：（Ⅱ）由PA⊥面ABCD，知AD为PD在平面ABCD的射影，又CD⊥AD，

∴CD⊥PD，知∠PDA为二面角P—CD—B的平面角. 又∵PA=AD，∴∠PDA=450 .

（Ⅲ）∵PA=AB=AD=2，∴PB=PD=BD=
，设C到面PBD的距离为d，

由
，有
，

即
，得

方法二：证：（Ⅰ）建立如图所示的直角坐标系，

则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）.

在Rt△BAD中，AD=2，BD=
，

∴AB=2.∴B（2，0，0）、C（2，2，0），[来源:Zxxk.Com]

∴

∵
，即BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC.

解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得
.

设平面PCD的法向量为
，则
，

即
，∴
故平面PCD的法向量可取为

∵PA⊥平面ABCD，∴
为平面ABCD的法向量.

设二面角P—CD—B的大小为(，依题意可得
，∴( = 450 .

（Ⅲ）由（Ⅰ）得
，设平面PBD的法向量为
，

则
，即
，∴x=y=z，

故平面PBD的法向量可取为
.

∵
，∴C到面PBD的距离为

22、（本小题15分）
如
图，在五棱锥P-ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝2AE＝4，三角形PAB是等腰三角形．

(1)求证：平面PCD⊥平面PAC；

(2)求直线PB与平面PCD所成角的大小；

(3)求四棱锥P-ACDE的体积．

解析：(1)在△ABC中，因为∠ABC＝45°，BC＝4，AB＝2，所以AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos 45°＝8，

因此AC＝2. 故BC2＝AC2＋AB2，所以∠BAC＝90°.

又PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，[来源:学科网ZXXK]

所以CD⊥PA，CD⊥AC.

又PA、AC?平面PAC，且PA∩AC＝A，

所以CD⊥平面PAC，又CD?平面PCD，

所以平面PCD⊥平面PAC.

(2)法一：因为△PAB是等腰三角形，所以PA＝AB＝2，因此PB＝＝4.[来源:学*科*网Z*X*X*K]

又AB∥CD.

所以点B到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离．

由于CD⊥平面PAC，在Rt△PAC中，PA＝2，AC＝2，所以PC＝4.

故PC边上的高为2，此即为点A到平面PCD的距离．

所以B到平面PCD的距离为h＝2.

设直线PB与平面PCD所成的角为θ，

则sin θ＝＝＝
，又θ∈，所以θ＝.

法二：由(1)知AB、AC、AP两两相互垂直，分别以AB、AC、AP为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由于△PAB是等腰三角形，所以PA＝AB＝2，

又AC＝2，因此A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(0,2，0)，P(0,0,2)，

因为AC∥ED，CD⊥AC，

所以四边形ACDE是直角梯形．

因为AE＝2，∠ABC＝45°，AE∥BC，

所以∠BAE＝135°，因此∠CAE＝45°，

故CD＝AE·sin 45°＝2×＝，

所以D(－，2，0)．

因此＝(0，－2，2)，＝(－，0,0)，

设m＝(x，y，z)是平面PCD的一个法向量，

则m·＝0，m·＝0，解得x＝0，y＝z，

取y＝1，得m＝(0,1,1)，又＝(－2，0,2)，

设θ表示向量与平面PCD的法向量m所成的角，

则cos θ＝
＝，所以θ＝，

因此直线PB与平面PCD所成的角为.

(3)因为AC∥ED，CD⊥AC，

所以四边形ACDE是直角梯形．

因为AE＝2，∠ABC＝45°，AE∥BC，

所以∠BAE＝135°，因此∠CAE＝45°，

故CD＝AE·sin 45°＝2×＝，

ED＝AC－AE·cos 45°＝2－2×＝，

所以S四边形ACDE＝×＝3.

又PA⊥平面ABCDE，

所以VP-ACDE＝×3×2＝2.