益阳市一中2013年下学期期中考试

高二理科数学试题

时量120分钟 总分150分 命题人：李立明 审题人：石宏波

一、选择题 （每小题5分，共40分）

1、“ 粗缯大布裹生涯, 腹有诗书气自华。”，这句话说明 “腹有诗书”是“气自华”的

A.充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件命题

2、“对任意
，都有
”的否定为

A.对任意
，都有
B.不存在
，都有

C.存在
，使得
D.存在
，使得

3、正方体ABCD(A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值是

A. B.  C. D. 

4、 双曲线

与抛物线
有一个公共焦点F，过点F且垂直于实轴的弦长为
，则双曲线的离心率等于

A.
B.
C.
D.

5、 已知双曲线
：
（
）的离心率为
，则
的渐近线方程为

A.
B.
C.
D.

6、 已知椭圆
的右焦点为
，过点的直线交椭圆于
两点。若
的中点坐标为
，则的方程为

A.
B.
C.
D.

7、设抛物线
的焦点为，点
在上，
，若以
为直径的圆过点
，则的方程为

A.
或
B.
或

C.
或
D.
或

8、在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为

；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为
.若
分

别为
的最小值、最大值，其中
，

,则
满足.

A.
B.

C.
D.

二.填空题 （每小题5分，共35分）

9、如图，在正方体
中，
.
分别是
.
的中点，则异面直线
与
所成角的大小是_______

10、已知条件
；条件
，若p是q的充分不必要

条件，则a的取值范围是__________.

11、给出下列命题：

①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；

②命题“△ABC中， AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；

③命题“若a>b>0，则>>0”的逆否命题；

④“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题.

其中真命题的序号为________.

12、 已知点
.
.
.
，则向量
在
方向上的投影为是________________________.

13、已知抛物线方程
，则它的焦点坐标为_______

14、抛物线
上的点到抛物线准线距离为
，到直线
的距离为
，

则
的最小值是________.

15、设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且
，若AB=4，
，则椭圆

的两个焦点之间的距离为________

三.解答题 （共75分，16~18每题12分，19~21每题13分）

16、已知命题p：函数
是R上的减函数；命题q：在
时，不等式

恒成立，若pvq是真命题，求实数a的取值范围.

17、 设椭圆

的离心率为=
,点是椭圆上的一点,且点到

椭圆
两焦点的距离之和为4.

(1)求椭圆
的方程；

(2)若椭圆
上一动点
关于直线
的对称点为
,求
的取

值范围.

18、已知双曲线C：
与直线
:x + y = 1相交于两个不同的点A、B.

(1) 求双曲线C的离心率e的取值范围；

(2) 设直线
与y轴交点为P，且
，求的值

19、如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB＝4，

PA＝3，A点在PD上的射影为G点，E点在AB上，平面PEC⊥平面PDC.

（1）求证：AG∥平面PEC；

（2）求AE的长；

（3）求直线AG与平面PCA所成角的正弦值.

20、如图，正方形
所在平面与圆
所在平面相交于
，线段
为圆
的弦，

垂直于圆
所在平面，垂足是圆
上异于
、的点，
，圆
的直径为9。

（1）求证：平面
平面
；

（2）求二面角
的平面角的正切值。

21、已知抛物线
，点
关于轴的对称点为，直线过点
交抛物线于

两点.

(1)证明：直线
的斜率互为相反数；

(2)求
面积的最小值；

(3)当点
的坐标为
，
且
.根据（1）（2）推测并回答下列问题（不必说

明理由）：①直线
的斜率是否互为相反数？ ②
面积的最小值是多少？

益阳市一中2013年下学期期中考试高二理科数学试题参考答案（仅供参考）

1

2

3

4

5

6

7

8



A

D

B

A

C

D

C

D



8. 作图知，只有
，其余均有
，易知应选D

二.填空题答案:

9.90。 10.
11. ①②③ 12.

13. (0,
) 14.
15.

三.解答题答案:

16. p：∵函数
是R上的减函数

∴0＜2a－5＜1， ……3分

故有
＜a＜3 ……4分

q：由x2－ax＋x＜0得ax＞x2＋2，∵1＜x＜2，

且a＞
在x∈（1，2）时恒成立， ……6分

又

∴a≥3 ……9分

p∪q是真命题，故p真或q真，所以有
＜a＜3或a≥3 ……11分

所以a的取值范围是a＞
……12分

17. 解:(1)依题意知,

∵
,
.

∴所求椭圆
的方程为
. ……3分

（2）∵ 点
关于直线
的对称点为
，

∴

解得：
，
.

∴
. ……10分

∵ 点
在椭圆
:
上,∴
, 则
.

∴
的取值范围为
. ……12分

18. （1）由曲线C与直线相交于两个不同的点，知方程组
有两个不同的解，消去y并整理得：

得
且
双曲线的离心率

∵
∴

即离心率e的取值范围为
. ……6分

（2）设

∵
,∴
，得

由于
是方程①的两个根，∴

即
， 得
，

解得
……12分

19. 解（1）证明：∵CD⊥AD，CD⊥PA

∴CD⊥平面PAD ∴CD⊥AG，

又PD⊥AG

∴AG⊥平面PCD …………2分

作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD

∴EF⊥平面PCD ∴EF∥AG

又AG面PEC，EF面PEC，

∴AG∥平面PEC ………………4分

（2）由（1）知A、E、F、G四点共面，又AE∥CD ∴ AE∥平面PCD

∴AE∥GF ∴四边形AEFG为平行四边形，∴AE＝GF …………5分

∵PA＝3，AB＝4 ∴PD＝5，AG＝
，

又PA2＝PG?PD ∴PG
……………………6分

又
∴
∴
………………8分

（3）∵EF∥AG , 所以AG与平面PAC所成角等于EF与平面PAC所成的角 ，过E作EO⊥AC于O点，易知EO⊥平面PAC，又EF⊥PC，∴OF是EF在平面PAC内的射影∴∠EFO即为EF与平面PAC所成的角 ……10分

， 又EF＝AG

∴

所以AG与平面PAC所成角的正弦值等于 ………………13分

20. (1)证明：∵
垂直于圆
所在平面，
在圆
所在平面上，

∴

。

在正方形
中，
，

∵
，∴
平面
.∵
平面
，

∴平面
平面
。 ……………………………………………6分

（2）∵
平面
，
平面
，

∴
。

∴
为圆
的直径，即
.

设正方形
的边长为，

在
△
中，
，

在
△
中，
，

由
，解得，
。 ∴
。

过点作
于点，作
交
于点
，连结
，

由(1)知
平面
。∵
平面
，

∴
。∵
，
，

∴
平面
。∵
平面
，∴
。

∴
是二面角
的平面角。…………………………………10分

在
△
中，
，
，
，

∵
，∴
。

在
△
中，
，,∴
。

故二面角
的平面角的正切值为
。 …………………………13分

21.（1）设直线的方程为
.

由
可得
.

设
，则
.-------3分

∴
∵

.

又当垂直于轴时，点
关于轴，显然
.

综上，
. ----------8分

（2）
=
.

当垂直于轴时，
.

∴
面积的最小值等于. -----------11分

（3）推测：①
；

②
面积的最小值为
. ----------- 13分

4. （1）由题意可得点M（x,y）到两定点F1（0，
）、F2（0，-
）的距离和为4，故轨迹C是以F1、F2为焦点的椭圆，其方程为 x2+
=1.

（2）显然x=-2与曲线C无交点，故直线L的斜率存在，设直线L的方程为y=k(x+2),并设点A、B的坐标分别为A（x1,y1）、B（x2,y2）.

由
得（4+k2）x2+4 k2x+4 （k2-1）=0

△=16k4-16（4+ k2）（k2-1）=-16(3 k2-4)＞0
k2＜

∴x1+x2=-
① x1x2=
②

∵
=
+
∴四边形OAPB为平行四边形

若存在直线L使得四边形OAPB为矩形，则
·
=0

∴x1x2+ y1y2=（1+ k2）x1x2+2k2（x1+x2）+4k2=0 ③

将①②代入③解得k2=

设P（x0,y0），则x0= x1+x2=-
,故点P不在直线x=-
上

即不存在这样的直线L使得四边形OAPB为矩形.

另解提示:解答第(2)题时,如果先利用OP中点即为AB的中点,可以求得k2=
.与上面的解法一样还可求得k2=
,这是不可能的,所以不存在这样的直线L使得四边形OAPB为矩形