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2014年重庆一中高2015级高二上期期末考试

数 学 试 题 卷（理科） 2014.1

数学试题共4页。满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。[来源:学科网ZXXK]

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

第Ⅰ卷（选择题，共
分）

一、选择题：（本大题 10个小题，每小题5分，共50分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须填涂在答题卡上相应位置。

1.直线
与直线
垂直，则实数
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

2.抛掷一枚均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点
）一次，观察掷出向上的点数，设事件A为掷出向上为偶数点，事件B为掷出向上为3点，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

3.已知圆的半径为2，圆心在
轴的正半轴上，且与
轴相切，则圆的方程是（ ）

A．
B．

C．
D．

4.棱长为2的正方体
的内切球的表面积为（ ）

A.
B．
C．
D．

5.已知函数
的导函数为
，且满足关系式
，则
的值等于（ ）

A.
B.
C.
D.

6.已知
、
是不重合的平面，
、
、
是不重合的直线，给出下列命题：

①
；②
；③
。

其中正确命题的个数是（ ）

A．3 B．2 C．1 D．0

7.一空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为（ ）

A.
B.

C.
D.

8.已知双曲线
的右焦点为
，若过点
且倾斜角为
的直线与双
曲线的右支有且
只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

9.（原创）若函数
函
数
,则
的最小值为( )

A.
B.
C.
D.

10.（原创）若对定义在
上的可导函数
，恒有
，（其中
表示函数
的导函数
在
的值），则
（
）

A.恒大于等于0 B.恒小于0 C.恒大于0 D.和0的大小关系不确定

第Ⅱ卷（非选择题，共
分）

二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）各题答案必须填写在答题卡相应位置上，只填结果，不要过程）。

11.如图，直三
棱柱
中，
，

，则该三棱柱的侧面积为 。

12.（原创）如图所示的“赵爽弦图”中，四个相同的直角三角形与中间

的小正方形拼成的一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐

角
，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正

方形内的概率是______________。

13.已知函数
在
上是单调减函数,则实数
的取值范围是

___________。

14.如图，平面
平面
，四边形
是正方形，四边形

是矩形，且
，
是
的中点，则
与平面

所成角的正弦值为___________。

15.（原创）已知抛物线
的焦点为
，顶点为
，准线为
，过该抛物线上异于顶点
的任意一点
作
于点
，以线段
为邻边作平行四边形
，连接直线
交
于点
，延长
交抛物线于另一点
。若
的面积为
，
的面积为
，则
的最大值为____________。

三、解答题：（本大题6个小题，共75分）各题解答必须答在答题卷上相应题目指定的方框内（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）。[来源:Zxxk.Com]

16.（本小题满分13分）已知一条曲线
在
轴右侧，
上每一点到点
的距离减去它到
轴距离的差都是1。

（1）求曲线
的方程；

（2）设直线
交曲线
于
两点，线段
的中点为
，求直线
的一般式方程。

17.（本小题满分13分）如图，
是正方形
所在平面

外一点，且
，
，若
、

分别是
、
的中点。

（1）求证：
；

（2）求点
到平面
的距离。

18.（原创）（本小题满分13分）已知三次函数
，
为实常数。

（1）若
时，求函数
的极大、极小值；

（2）设函数
，其中
是
的导函数，若
的导函数为
，
，
与
轴有且仅有一个公共点，求
的最小值。

19.（本小题满分12分）如图，在
中，
，
，点
在边
上，

设
，过点
作
交
于
，作
交
于
。沿
将

翻折成
使平面
平面
；沿
将
翻折成
使平面[来源:学科网ZXXK]

平面
。

（1）求证：
平面
；[来源:学科网ZXXK]

（2）是否存在正实数
，使得二面角
的大小为
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由。

20.（原创）（本小题满分12分）如图，已知椭圆
的离心率是
，
分别是椭圆
的左、右两个顶点，点
是椭圆
的右焦点。点
是
轴上位于
右侧的一点，且满足
。

（1）求椭圆
的方程以及点
的坐标；

（2）过点
作
轴的垂线
，再作直线

与椭圆
有且仅有一个公共点
，直线
交直线
于点

。求证：以线段
为直径的圆恒过定点，并求出定

点的坐标。

21.（原创）（本小题满分12分）函数
，其中

为实常数。

（1）讨论
的单调性；

（2）不等式
在
上恒成立，求实数
的取值范围；

（3）若
，设
，

。是否存在实常数
，既使
又使
对一切
恒成立？若存在，试找出
的一个值，并证明；若不存在，说明理由。

2014年重庆一中高2015级高二上期期末考试

数学试题（理科）答案

1.D 2.B 3.A 4.C 5.D 6.C 7.B 8.C 9.D 10.C

11.
12.
13.
14.
15.

16．（本小题满分13分）解：（1）设
是曲线
上任意一点，那么点
满足：

，化简得
。（或由定义法）

（2）设
，由
，

①
②得：
，由于易知
的斜率
存在，

故
，即
，所以
，故
的一般式方程为
。

17．
（本小题满分13分）解：如图建系，则

，则

。

（1）法一：

，
。

法二：三垂线定理。

（2）法一：设
为平面
的一个法向量，

由
，

取
，则
，
，
，

，
点
到平面
的距离为
。

法二：体积法。

18．（本小题满分13分）解：（1）

令
，
，








[来源:Z.xx.k.Com]























极大值



极小值






，
。

（2）
，
，

，

法一：
令
，

令
又
则
，当
时，
当
时，

。
。

法二：
，

“
”
，
。

19.（本小题12分）解：（1）法一：以
为原点，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴，过C且垂直于平面
的直线为
轴，建立空间直角坐标系，如图，

则
设
，

由

，

从而

于是
，
，

平面
的一个法向量为
，

又
，
，从而
平面
。

法二：因为
，
平面
，所以
平面
，因为平面
平面
，且
，所以
平面
．同理，
平面
，所以
，从而
平面
．所以平面
平面
，从而
平面
。

（2）解：由（1）中解法一有：
，
，

。可求得平面
的一个法向量
，平面
的一个法向量
，由

，即
，又
，
，由于
，

所以不存在正实数
，使得二面角
的大小为
。

20.（本小题满分12分）解：（1）
，设
，由
有
，又
，
，于是

，又
，

，又
，
，椭圆
，且
。

（2）
，设
，由

，

由于
（*），

而由韦达定理：
，

，
，

设以线段

为直径的圆上任意一点
，由
有

由对称性知定点在
轴上，令
，取
时满足上式，故过定点
。

21.（本小题满分12分）解：（1）定义域为
，

①当
时，
，

在定义域
上单增；

②当
时，当
时，
，
单增；当
时，
，
单减。

增区间：
，减区间：
。

综上可
知：当
时，增区间
，无减区间；当
时，增区间：
，减区间：
。

（2）
对任意
恒成立

，令
，

，

在
上单增，

，

，故
的取值范围为
。

（3）存在，如
等。下面证明：

及
成立。

①先证
，注意
，

这只要证

（*）即可，

容易证明
对
恒成立(这里证略)，取
即可得上式成立。

让
分别代入（*）式再相加即证：
，

于是
。

②再证
，

法一：

只须证
，构造证明函数不等式：
，

令
，
，当
时，

在
上单调递减,又

当
时，恒有

，即
恒成立。

，取
，则有
，

让
分别代入上式再相加即证：

，

即证
。

法二：
，

，

又
故不等式成立。

（注意：此题也可用数学归纳法！）