高二数学（理）试题

选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题只有一项是符合题目要求的。

1、在等差数列
中，
，
则
的前5项和
= （ ）

(A)．7 (B)．15 (C)．20 (D)．25

2、已知命题
，
，则
为 （ ）

(A)
(B)

(C)
(D)

3、下列命题：

①若
是空间任意四点，则有
；

②
是
共线的充要条件；

③若
共线，则
与
所在直线平行；

④对空间任意一点与不共线的三点
，若

，则
四点共面．其中不正确命题的个数是 (　 　)

(A)1　　 　　(B)2　　 　　 (C)3　　 　　 (D)4

4、若
，则不等式
的解集为 （ ）

(A)
(B)
(C)
(D)

5、已知三个数
构成一个等比数列，则圆锥曲线
的离心率为（ ）

(A)
或
(B)
(C)
(D)
或

6、过抛物线
的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ

的长分别为p、q，则
等于 （ ）

A．
B．
C．
D．

7、双曲线
右支点上一点P到右焦点的距离为2，则P到左准线的距离为（ ）

（A）．6 （B）．8 （C）．10 （D）．12

8、设实数
满足
，则
的取值范围是 （ ）

(A)
(B)
(C)
(D)

9、已知
，则以
为邻边的平行四边形的面积为(　 　)．

A．8 B．
C．4 D．

10、在
中，
分别是
的对边，已知
成等比数列，且
，则
的值为 （ ）

(A)
(B)
(C)
(D)

11、“
”是“函数
在区间
内单调递增”的 ( )

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件

(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

12、如图，平面
⊥平面
，四边形
是正方形，四边形
是矩形，且
，
是
的中点，则
与平面
所成角的正弦值为 (　 　)．

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13、已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为___；

14、过点
作一直线与椭圆
相交于
两点，若
点恰好为弦
的中点，则
所在直线的方程为 ；

15、已知
，若
，则
的值是 ；

16、已知抛物线
的焦点为，经过的直线与抛物线相交于
两点，则以AB为直径的圆在轴上所截得的弦长的最小值是 。

解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、（本小题满分10分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3cos(B－C)－1＝6cosBcosC.

(1)求cosA； (2)若a＝3，△ABC的面积为2，求b，c.

18．（本小题满分1 2分）已知数列
的前项和为
，且
，
，数列
满足
，
.

(1)求
; (2)求数列
的前项和
.

19、（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1＝2，

C1H⊥平面AA1B1B，且C1H＝.

(Ⅰ）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；

(Ⅱ)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C1，求线段BM的长．

20．（本小题满分12分）已知椭圆
的方程为
，双曲线
的左、右焦点分别为
的左、右顶点，而
的左、右顶点分别是
的左、右焦点.

（Ⅰ）求双曲线
的方程；

（Ⅱ）若直线
与椭圆
及双曲线
都恒有两个不同的交点，且
与

的两个交点A和B满足
（其中O为原点），求k的取值范围.

21. (本小题满分12分)如图，四棱锥
中，底面
为矩形，
底面
,
，点是棱
的中点．

（Ⅰ）求证：直线
；

(Ⅱ) 求直线
与平面
的距离；

（Ⅲ）若
，求二面角
的平面角的余弦值.

22、设抛物线C：
的焦点为F，经过点F的直线与抛物线交于
两点．

(1)若
，求线段
中点
的轨迹方程；

(2) 若直线
的方向向量为
，当焦点为
时，求
的面积；

(3) 若
是抛物线
准线上的点，求证：直线
的斜率成等差数列．

高二数学（理）答案

一、选择题：

二、填空题：

13： 4 ；14
； 15、
；16、

三、解答题

17、解：(1)∵3(cosBcosC＋sinBsinC)－1＝6cosBcosC，

∴3cosBcosC－3sinBsinC＝－1，∴3cos(B＋C)＝－1，

∴cos(π－A)＝－，∴cosA＝.

(2)由(1)得sinA＝，由面积公式bcsinA＝2可得bc＝6，①

根据余弦定理得cosA＝＝＝，则b2＋c2＝13，　②

①、②两式联立可得b＝2，c＝3或b＝3，c＝2.

18、解：(1)由Sn＝2n2＋n，可得

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋n)－[2(n－1)2＋(n－1)]＝4n－1，

当n＝1时，a1＝3符合上式，所以an＝4n－1(n∈N*)．

由an＝4log2bn＋3，(4分) ;可得4n－1＝4log2bn＋3，解得bn＝2n－1(n∈N*)．(6分)

(2)anbn＝(4n－1)·2n－1，

∴Tn＝3＋7×21＋11×22＋15×23＋…＋(4n－1)×2n－1，①

2Tn＝3×21＋7×22＋11×23＋15×24＋…＋(4n－1)×2n.②

①－②可得

－Tn＝3＋4(21＋22＋23＋24＋…＋2n－1)－(4n－1)×2n

＝3＋4×－(4n－1)×2n＝－5＋(5－4n)×2n，

∴Tn＝5＋(4n－5)×2n.(12分)

19解：如图所示，建立空间直角坐标系，

点B为坐标原点，依题意得A(2，0,0)，B(0,0,0)，C(，－，)，A1(2，2，0)，B1(0,2，0)，C1(，，)

解得
故M，因此＝，

所以线段BM的长||＝.

20、 解：（Ⅰ）设双曲线C2的方程为
，则

故C2的方程为

解此不等式得：
③

由①、②、③得：

故k的取值范围为

21. (1)在矩形ABCD中，AD∥BC，又

AD∥平面PBC

(2)如右图，以A为坐标原点，射线 AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴正半轴，建立空间直角坐标系A－xyz.设D(0，a,0)，则B (，0,0)，C(，a,0)，P(0,0，)，E(，0，)．

因此＝(，0，)，＝(0，a,0)，＝(，0，－)．

则·＝0，·＝0，所以AE⊥平面PBC.又由AD∥BC知AD∥平面PBC，

故直线 AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离，即为||＝.

(3)因为||＝，则D(0，，0)，C(，，0)．

设平面AEC的法向量n1＝(x1，y1， z1)，则n1·＝0，n1·＝0.

又＝(，，0)，＝(，0，)，故

所以y1＝－x1，z1＝－x1.可取x1＝－，则n1＝(－，2，)．

设平面DEC的法向量n2＝(x2，y2，z2)，则n2·＝0，n2·＝0，

又＝(，0,0)，＝(，－，)，故

所以x2＝0，z2＝y2，可取y2＝1，则n2＝(0,1，)．

故cos〈n1，n2〉＝＝.

22解：(1) 设
，
，焦点
，

则由题意
，即
，所求的轨迹方程为
，即

因而
，

因而

而
，故
．