命题人：师大附中高二数学备课组

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。时量120分钟。满分150分。

得分：______________

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若f′(x)＝3，则 等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．3 B. C．－1 D．1

2．θ是第三象限角，方程x2＋y 2sin θ＝cos θ表示的曲线是

A．焦点在y轴上的双曲线 B．焦点在x轴上的双曲线

C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在x轴上的椭圆

3．火车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中火车的行驶路程看作时间的函数，其图象可能是

4．正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝3AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为

A. B. C. D.

5．已知命题p：�鰔∈(－∞，0)，3x>5x；命题q：�衳∈，tan x

A．p∧q B．綈p∨q C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)

6．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1 和直线l2的距离之和的最小值是

A. B. C. 2 D．3

7．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋2相切，则此双曲线的渐近线方程为

A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D. y＝±x

8．已知抛物线y2＝2px的焦点F与双曲线－－1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为

A．32 B．8 C．16 D．4

选择题答题卡

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

得　分



答案





















二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．

9．若动点P与定点F(1，1)的距离和动点P与直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹方程是______．

10．若双曲线－＝1上一点P到点(5，0)的距离为，则点P到点(－5，0)的距离是 ________________．

11．设点P是椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1＋S△IPF2＝2S△IF1F2，则该椭圆的离心率是__________．

12．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a.则直线CD与平面AB1D1所成的角的余弦值为________．

13．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P.若∠PF1F2＝30°，则该双曲线的离心率为______．

14．已知正四棱锥S－ABCD中，SA＝3，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为______．

15．曲线C是平面内到直线l1：x＝－1和直线l2：y＝1的距离之积等于常数k2的点的轨迹．给出下列四个结论：

①曲线C过点(－1，1)；

②曲线C关于点(－1，1)对称；

③若点P在曲线C上，点A，B分别在直线l1，l2上，则＋不小于2k；

④设P0为曲线C上任意一点，则点P0关于直线x＝－1、点(－1，1)及直线y＝1对称的点分别为P1、P2、P3，则四边形P0P1P2P3的面积为定值4k2.

其中，所有正确结论的序号是__________________．

三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．(本题满分12分)

已知f(x)＝ax4＋bx2＋c的图象经过点(0，3)，且在x＝1处的切线方程是y＝2x＋1.

(Ⅰ)求y＝f(x)的解析式；

(Ⅱ)求y＝f(x)的单调递增区间．

17．(本题满分12分)

如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．

(Ⅰ)求证：AB1⊥A1D；

(Ⅱ)求点C到平面A1BD的距离；

18.(本题满分12分)

已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点(0，1)．

(Ⅰ)求此椭圆的方程；

(Ⅱ)已知定点E(－1，0)，直线y＝kx＋2与此椭圆交于C、D两点．是否存在实数k，使得以线段CD为直径的圆过E点．如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

19．(本题满分13分)

如图，直三棱柱ABC－A1B1C1底面边长均为，侧棱长为1，点D在棱A1C1上．

(Ⅰ)若D为A1C1的中点，求证：直线BC1∥平面AB1D；

(Ⅱ)设二面角A1－AB1－D的平面角为θ，＝λ(0<λ<1)，试探究当λ为何值时，能使tan θ＝2?

20.(本题满分13分)

抛物线P：x2＝2py上一点Q(m，2)到抛物线P的焦点的距离为3，A，B，C，D为抛物线上的四个不同的点，其中A、D关于y轴对称，D(x0，y0)，B(x1，y1), C(x2，y2)，－x0

(Ⅰ)求p的值；

(Ⅱ)证明：∠CAD＝∠BAD；

(Ⅲ)D到直线AB、AC的距离分别为m、n，且m＋n＝，△ABC的面积为48，求直线BC的方程．

21.(本题满分13分)

已知椭圆x2＋＝1的左、右两个顶点分别为A，B.双曲线C的方程为x2－＝1. 设点P在第一象限且在双曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T.

(Ⅰ)设P, T两点的横坐标分别为x1，x2，证明x1· x2＝1；

(Ⅱ)设△TAB与△POB(其中O为坐标原点)的面积分别为S1与S2 ，且·≤15，求S－S的取值范围．

湖南师大附中2015届高二第一学期第三次月考试题

数学(理科)参考答案

一、选择题

1．C　【解析】 ＝ ＝· ＝－1.

2．A　【解析】因为θ是第三象限角，所以sin θ<0，cos θ<0，原方程可化为＋＝1，又cos θ<0，>0，故原方程表示焦点在y轴上的双曲线．

3．B　4.C

5．D　【解析】因为当x＜0时，>1，即3x>5x，所以命题p为真，从而綈p为假．

因为当x∈时，tan x－sin x＝>0，即tan x>sin x，所以命题q为假．所以p∧(綈q)为真，故选D.

6．C　【解析】因为抛物线的方程为y2＝4x，所以焦点坐标F(1，0)，准线方程为x＝－1，所以设P到准线的距离为PB，则PB＝PF.P到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离为PA，所以PA＋PB＝PA＋PF≥FD，其中FD为焦点到直线4x－3y＋6＝0的距离，所以FD＝＝＝2，所以距离之和最小值是2，选C.

8．D　【解析】双曲线的右焦点为(4，0)，抛物线的焦点为，所以＝4，即p＝8.所以抛物线方程为y2＝16x，焦点F(4，0)，准线方程x＝－4，即K(－4，0)，设A， 过A做AM垂直于准线于M，由抛物线的定义可知|AM|＝|AF|，所以|AK|＝|AF|＝|AM|，即|AM|＝|MK|，所以－(－4)＝y，整理得y2－16y＋64＝0，即(y－8)2＝0，所以y＝0，所以S△AFK＝|AF|y＝×8×8＝32，选A.

二、填空题

9．x－3y＋2＝0

10.　【解析】因左顶点到右焦点的距离为9＞，故点P只能在右支上，所以＝为所求．

11.　12.

13.＋1　【解析】因为∠PF1F2＝30°，PF1⊥PF2，所以＝c，＝c.由双曲线的定义可知，－＝2a，即c－c＝2a，所以＝＝＋1，即双曲线的离心率为＋1.

14．设底面边长为a，则高h＝＝，所以体积

V＝a2h＝，设y＝9a4－a6，则y′＝36a3－3a5，

当y取最值时，y′＝36a3－3a5＝0，解得a＝0或a＝2，

故当a＝2时，体积最大，此时高h＝.

15．②③④　【解析】设动点为(x，y)，则由条件可知·＝k2.①将(－1，1)代入得0＝k2，所以不成立．故方程不过此点，所以①错．②把方程中的x被－2－x代换，y被2－y代换，方程不变，故此曲线关于(－1，1)对称．②正确．③由题意知点P在曲线C上，点A，B分别在直线l1，l2上，则≥，≥，所以＋≥2＝2k，故③正确．④由题意知点P在曲线C上，根据对称性，则四边形P0P1P2P3的面积为2·2＝4·＝4k2.所以④正确．综上所有正确结论的序号是②③④.

三、解答题

17．【解析】解法一：(Ⅰ)取BC中点O，连结AO.∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC.

∵正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，

∴AO⊥平面BCC1B1，∴AO⊥BD.

连结B1O，在正方形BB1C1C中，O，D分别为BC，CC1的中点，∴B1O⊥BD.

∴BD⊥平面AB1O.∴BD⊥AB1.(4分 )

又在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B，又BD∩A1B＝B，

∴AB1⊥平面A1BD.∴AB1⊥A1D.(6分)

(Ⅱ)△A1BD中，BD＝A1D＝，A1B＝2，∴S△A1BD＝，S△BCD＝1.

在正三棱柱中，A1到平面BCC1B1的距离为.(9分)

设点C到平面A1BD的距离为d.

由VA1－BCD＝VC－A1BD得S△BCD·＝S△A1BD·d，(10分)

∴d＝＝.

∴点C到平面A1BD的距离为.(12分)

解法二：(Ⅰ)取BC中点O，连结AO.

∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC.

∵在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AD⊥平面BCC1B1.

取B1C1中点O1，以O为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0)，(4分)

∴＝(1，2，－)，＝(－1，－1，－)．

∵·＝－1－2＋3＝0，∴⊥.

∴AB1⊥A1D.(6分)

(Ⅱ)设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)．

＝(－1，－1，－)，＝(－2，1，0)．

∵n⊥，n⊥，

∴

∴∴

令x＝1得n＝(1，2，－)为平面A1BD的一个法向量．(9分)

∵＝(－2，0，0)，

∴点C到平面A1BD的距离d＝＝＝.(12分)

18．【解析】(Ⅰ)根据题意，，解得.

所以椭圆方程为＋y2＝1.(5分)

(Ⅱ)将y＝kx＋2代入椭圆方程，得(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0，由直线与椭圆有两个交点，所以Δ＝(12k)2－36(1＋3k2)>0，解得k2>1.(7分)

设C(x1，y1)、D(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1·x2＝，

假设存在实数k，使得以CD为直径的圆过E点，则·＝0，

即(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝0，(9分)

而y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4，所以

(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝(k2＋1)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5＝－＋5＝0，

解得k＝，满足k2>1.(11分)

所以存在k＝，使得以线段CD为直径的圆过E点．(12分)

(Ⅱ)法一：过点D作DM⊥A1B1于M，则DM⊥平面ABB1A，

过点M作MN⊥AB1于N，连结DN，则∠MND为二面角A1－AB1－D的平面角．(6分)

过点A1作A1F⊥AB1于F，因为＝λ(0<λ<1)，则＝＝，DM＝A1Dsin 60°＝λ.(8分)

因为A1A＝1，A1B1＝，则AB1＝，

所以A1F＝＝.(9分)

因为＝＝＝1－，则MN＝.(10分)

所以tan θ＝＝＝.由已知，＝2，则λ＝.

故当λ＝时，能使tan θ＝2.(13分)

法二：以AB的中点O为原点，如图所示建立空间直角坐标系，则点A，A1，B1，C1.(6分)

因为＝λ(0<λ<1)，则点D.(7分)

设n1＝(x，y，z)为平面AB1D的一个法向量，

由·n1＝0，·n1＝0，

得n1＝