2013—2014学年上期中考

15届 高二理科数学试题

说明： 1、试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，满分150分，时间120分钟.

2、将第Ⅰ卷的答案填在第Ⅱ卷的答题栏中.

第Ⅰ卷 （选择题、填空题，共80分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 在
中，若
，则
的外接圆半径是

A.
B.
C.
D.

2. 已知数列
则
是它的第（ ）项.

A. 19 B. 20 C. 21 D. 22

3. 若不等式
与
同时成立，则必有

A.
B.
C.
D.

4. 在
中，内角
所对的边分别为
，已知
，
，为使此三角形只有一个，则满足的条件是

A.
B.
C.
或
D.
或

5. 已知等差数列
满足,
,则前n项和
取最大值时，n的值为

A．20 B．21 C．22 D．23

6. 在△ABC中，
所对的边分别为
，若ccosC=bcosB，则△ABC的形状一定是

A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等边三角形

7. 已知正项等比数列
满足：
,若存在两项
使得
，则
的最小值为

A. 9 B.
C.
D.

8. 设
的内角
所对的边分别为
，若三边的长为连续的三个正整数，且
，
，则
=

A． 4:3:2 B． 5:6:7 C． 5:4:3 D． 6:5:4

9. 设正实数x，y，z满足x2－3xy＋9y2－z＝0，则当
取得最大值时，
的最大值为

A．1 B．
C.-1 D．3

10. 数列
的前n项和为
,则
的前50项的和为

A．49 B．50 C．99 D．100

11. 已知实数
满足
,且目标函数
的最大值为6,最小值为1, 其中
的值为

A．1 B．2 C．3 D．4

12. 数列
的通项公式为
，
，
是数列
的前项和，则
的最大值为

A. 280 B. 300 C. 310 D. 320

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 在△
中，三边、
、所对的角分别为、、
，若
，则角
的大小为 ．

14. 设
，若
，则
的最大值是_________.

15. 已知方程
的两根为
，且
则
的取值范围 ．

16.已知数列
满足
（为常数，
），若

，则
．

2013—2014学年上期中考

15届 高二理科数学试题答题卷

题号

一

二

三

总分









17

18

19

20

21

22







得分























一、选择题：（共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案



























二、填空题：（共20分）．

13. 14. 15. 16．

第Ⅱ卷

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. （本小题满分10分）某单位有、、
三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点
，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为
，
，
．假定、、
、
四点在同一平面内．

（Ⅰ）求
的大小；

（Ⅱ）求点
到直线
的距离．

18.（本小题满分12分）设
是公比大于1的等比数列，
为数列
的前项和．

已知
，且
构成等差数列．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）令
,求数列
的前项和
．

19. （本小题满分12分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．

已知
，
.

(Ⅰ)求
的值； (Ⅱ)若
，求ABC的面积．

座号







20.（本小题满分12分）如图所示，
是一个矩形花坛，其中AB= 4米，AD = 3米．现将矩形花坛
扩建成一个更大的矩形花园
，要求：B在
上，D在
上，对角线
过C点， 且矩形
的面积小于64平方米．

（Ⅰ）设
长为米，矩形
的面积为平方米，试用解析式将表示成的函数，并写出该函数的定义域；

（Ⅱ）当
的长度是多少时，矩形
的面积最小?并求最小面积．

21. （本小题满分12分）已知函数
.

(Ⅰ)当
时，
恒成立，求实数的取值范围；

(Ⅱ)若对一切
，
恒成立，求实数的取值范围．

22. （本小题满分12分）数列
的前n项和为
,

（I）证明:数列
是等比数列；

（Ⅱ）若
，数列
的前n项和为
，求不超过
的最大整数的值．

 2013—2014学年上期中考

15届 高二理科数学试题

参考答案

一、选择题：

1-5 DCCCB 6-10 CDDAA 11-12 DC

二、填空题

13.
（或
） 14．
15．
16． 126

三、解答题：

17. 解：（Ⅰ）在△
中，因为
，
，
，

由余弦定理得

．

因为
为△
的内角，所以
．……………………5分

（Ⅱ）方法1：设外接圆的半径为，

因为
，由（1）知
，所以
．

所以
，即
．

过点
作边
的垂线，垂足为，

在△
中，
，
，

所以

．

所以点
到直线
的距离为
．

方法2：因为发射点
到、、
三个工作点的距离相等，所以点
为△
外接圆的圆心．连结
，
，过点
作边
的垂线，垂足为，

由（1）知
，所以
．

所以
．在
△
中，
，

所以
．

所以点
到直线
的距离为
．……………………10分

18. 解：（Ⅰ）由已知得
解得
．设数列
的公比为，由
，可得
．又
，可知
，即
，

解得
．由题意得
．
．

故数列
的通项为
．………………………………6分

（Ⅱ）由于
,所以

两式相减得：

………………………………12分

19. 解：(Ⅰ)∵cosA＝
＞0，∴sinA＝
，

又
cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA＝
cosC＋
sinC．

整理得：tanC＝
． ………………………………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 sinC＝
．

又由正弦定理知：
，故
． (1)

由余弦定理得：cosA＝
． (2)

解(1) (2)得：
or b＝
(舍去)．∴ABC的面积为：S＝
．…………12分

20. 解：（Ⅰ）由△NDC∽△NAM，可得
，

∴
，即
，故
，

由
且
，解得
，

故所求函数的解析式为
，定义域为
．……………………6分

（Ⅱ）令
，则由
，可得
，

故
，

当且仅当
，即
时，即当
时，取最小值48．

故当
的长为
时，矩形
的面积最小，最小面积为
平方米. …………12分

21. 解：(Ⅰ)当
时，设
，分以下三种情况讨论：

(1)当
时，即
时，
在
上单调递增，
，

因此
，无解.

(2)当
时，即
时，
在
上单调递减，
，

因此
，解得
.

(3)当
时，即
时，
，

因此
，解得
.

综上所述，实数的取值范围是
.……………………6分

(Ⅱ) 由
得
，令
，

要使
在区间
恒成立，只需
即
，

解得
或
.所以实数的取值范围是
.……………………12分

22. 解:(Ⅰ) 因为
,

所以 ① 当
时,
,则
.

② 当
时,
.

所以
,即
,

而
,所以数列
是首项为
,公比为
的等比数列，

所以
……………………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知
,
.

, 所以

故不超过
的最大整数为
. ……………………12分