康杰中学2013—2014学年第一学期第二次月考

高二数学（文）试题

2013.12

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 下列命题中的真命题是（ ）

A．
B．
C．
D．

2. 全称命题：
的否定是（ ）

A.
B.

C.
D.

3． 如果命题“
”为假命题，则（ ）

A．
均为假命题 B．
中至少有一个真命题

C．
均为真命题 D．
中只有一个真命题

4．双曲线
的渐近线方程为（ ）

A.
B.
C.
D.

5. 条件甲：“
”,条件乙：“方程
表示双曲线”，那么甲是乙的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

6．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满
=4:3:2，则曲线C的离心率等于（　　）

A．
B．
或2 C．
2 D．

7．曲线
与椭圆
的离心率互为倒数，则（　　）

A．
B．
C．
D．

8．与两圆
及
都外切的圆的圆心在（ ）

A.一个椭圆上 B. 双曲线的一支上 C. 双曲线上 D. 一个圆上

9．直线l过点
且与双曲线
仅有一个公共点，这样的直线有（ ）

A. 1 条 B. 2条 C. 3条 D. 4条

10．是双曲线
的右支上一点，点
分别是圆
和
上的动点，则
的最小值为 ( )

A． 1 B． 2 C． 3 D．4

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在题中横线上．

11．若圆
与双曲线
的渐近线相切，则双曲线的离心率是 .

12. 点P为双曲线
上一动点，O为坐标原点，M为线段OP中点，则点M的轨迹方程是 .

13. 如图,已知
、
是椭圆
的长轴上

两定点，
分别为椭圆的短轴和长轴的端点，是线段
上的

动点，若
的最大值与最小值分别为3、
，则椭圆方程

为 ．

14．对于椭圆
和双曲线
有下列命题：

①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点;

②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点;

③双曲线与椭圆共焦点;

④椭圆与双曲线有两个顶点相同.

其中真命题的序号是 ____。

三、 解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (本题满分10分)

求经过点P（-3，0），Q（0，-2）的椭圆的标准方程，并求出椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标.

16. (本题满分10分)

给定两个命题,：对任意实数都有
恒成立；
：关于的方程
有实数根.如果∨
为真命题，∧
为假命题，求实数的取值范围．

17. （本小题共12分）

在平面直角坐标系
中，点P到两点
，
的距离之和等于4，设点P的轨迹为
．

（Ⅰ）写出C的方程；

（Ⅱ）设直线
与C交于A，B两点．k为何值时

？此时
的值是多少？

18. （本小题共12分）已知双曲线


与圆
相切，过
的左焦点且斜率为
的直线也与圆
相切．

（1）求双曲线
的方程；

（2）是圆
上在第一象限内的点，过且与圆
相切的直线
与
的右支交于、两点，
的面积为
，求直线
的方程．

高二数学（文）参考答案

一、选择题： CDAAA ABBCC

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在题中横线上．

11．
12．
13．
14．①②

三、 解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．解： 由已知可得椭圆的标准方程为
， …………………4分

长轴长
, 短轴长
. ………………………6分

离心率
. ………………………………8分

焦点为
. ……………………………………10分.

16.解：对任意实数都有
恒成立

；…2分

关于的方程
有实数根
；………………………4分

17.解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以
为焦点，

长半轴为2的椭圆．它的短半轴
，故曲线C的方程为
． 4分

（Ⅱ）设
，其坐标满足

消去y并整理得
，

故
． 6分

，即
．而
，

于是
．

所以
时，
，故
． 9分

当
时，
，
．

，

而

，

所以
． …………………………………………12分

18.解：（1）∵双曲线
与圆
相切，∴
， ………………2分

由过
的左焦点且斜率为
的直线也与圆
相切，得
，进而

故双曲线
的方程为
………………………………4分

（2）设直线
：
，
，
，

圆心
到直线
的距离
，由
得
………6分

由
得


则
，
……………8分

又
的面积
，∴
…………10分

由
， 得
，
，此时式

∴直线
的方程为
. …………………12分