康杰中学2013—2014学年度第一学期第二次月考

高二数学试题（理）

2013.12

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）

1．命题“对任意的
”的否定是（ ）

A．不存在
B．存在

C．存在
＞0 D．对任意的
＞0

2．已知点A（1，0），B（-1，0）。动点M满足|MA|－|MB|=2，则点M的轨迹方程是（ ）

A．
B．

C．
D．

3．“AB＞0”“是方程
表示椭圆”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．给出下列说法：①命题“若
，则
”的否命题是假命题；

②命题
，使
＞1，则
，
≤1；

③“
”是“函数
为偶函数”的充要条件；

④命题
“
，使
”，命题
“在△ABC中，若
＞
，则A＞B”，那么命题
为真命题。

其中正确的个数是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

5．在长方体
中，O为A1C1与B1D1的交点，若
，
，
，则下列向量中与
相等的向量是（ ）

A．
B．

C．
D．

6．在正方体
中，O1为底面正方形
的对角线交点，直线BC1与AO1所成的角为（ ）

A．
B．
C．
D．

7．设F1、F2为椭圆
的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，
的值等于（ ）

A．0 B．2 C．4 D．－2

8．四棱柱
的底面ABCD为矩形，AB=1，AD=2，AA1=3，

∠A1AB=∠A1AD=60o，则AC1的长为（ ）

A．
B．23 C．
D．32

9．椭圆
与直线
相交于A，B两点，过AB中点M与坐标原点的直线的斜率为
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．1 D．2

10．已知F1，F2分别为椭圆C：
（＞
＞0）的左，

右焦点，过F1且垂直于轴的直线交椭圆C于A， B两点，

若△ABF为钝角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）

11．若
，
，且
与
的夹角为锐角，则
的取值范围为______.

12．若“＞”是“
＞7”的必要不充分条件，则实数的取值范围为__________.

13．中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为
，且过点（2，0）的椭圆的标准方程是__________.

14．已知点P（
）是曲线
上一动点，则
的范围为_________.

三、解答题

15．（10分）已知命题：方程
表示焦点在轴上的椭圆；命题：
，使
＜0；若“
”为真，“
”为假，求实数的取值范围.

16．（10分）如图，
轴，点M在DP的延长线上，
当点P在圆
上运动时，

（1）求：动点M的轨迹的方程；

（2）若B(-2，0),C(1，0),A是曲线上的一个动点，

求：
的取值范围．

17．（12分）如图（1）所示，在Rt△ABC中，∠C=90o，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图（2）所示.

（1）求证：A1C⊥平面BCDE.

（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成的角的大小.

（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由.

18．(12分)已知椭圆C的对称轴为坐标轴，且经过两点
.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点（－1，0）的动直线
与椭圆相交于A、B两点，在轴上是否存在点M，使
为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

高二数学（理）答案

一、1—5 C C B B A 6—10 A D C A A

二、11．
12．
13．
或

14．

2m＞0

15．解：命题
　 m-1＜0 得0＜m＜

2m＜1-m 0＜m＜

命题
△=1－4m＞0，得m＜
真假时 得

m≥

或

假真时 得

综上实数m的取值范围为

16．解：(1)设点M的坐标为
，点P的坐标为
，

则
即
①

∵P
在圆上 ∴
②

将①代入②得

∴动点M的轨迹方程为

(2)设点A的坐标为
∴

∵点A在椭圆
上

∴

∴
的取值范围为(0,
]

17．（1）证明：∵AC⊥BC，DE∥BC，∴DE⊥AC. ∴DE⊥A1D，DE⊥CD，

∴DE⊥平面A1DC. ∴DE⊥A1C 又∵A1C⊥CD，∴A1C⊥平面BCDE.

　 （2）解：如图所示，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，

则A1（
），
，
，

设平面A1BE的法向量为
，则

又

∴
令
，则
，∴

设CM与平面A1BE所成的角为
∵

∴

∴CM与平面A1BE所成角的大小为

　 （3）解：线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直. 理由如下：

假设这样的点P存在，设其坐标为（,0,0），其中

设平面A1DP的法向量为
，则

又

∴
令
则
，
， ∴

平面A1DP⊥平面A1BE，当且仅当
，即
，

解得
，与
矛盾

∴线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直。

18．（1）设椭圆的方程为
（A＞0，B＞0，且A≠B）

则 解得A=
B=
∴椭圆C的方程为

（2）设
①直线
的斜率存在时，设
：

由
得

则
假设存在点
，

则

若
为定值，则
, 得
且

②直线
斜率不存在时，直线
：
，则A

当M
时，
综上存在点M