一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的）

1 . 若
,则直线
的倾斜角的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

2 . 已知向量
,
,且
与
互相垂直，则
的值是 ( )

A.1 B.
C.
D.

3．已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，过M点作直线l的垂线，得到的直线方程是(　　)

A．x－2y－2＝0 B．x－2y＋2＝0 C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0

4. 某三棱锥的侧视图和俯视图如图--1所示，则该三棱锥的体积为(　　)

图--1

A．4 B．8 C．12 D．24

5. 下列命题中错误的是 ( )

A. 如果平面
平面，平面
平面，
，那么

B. 如果平面
平面
，那么平面内一定存在直线平行于平面

C. 如果平面不垂直于平面
，那么平面内一定不存在直线垂直于平面

D. 如果平面
平面
，过内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于

6 . 已知
，则直线
与椭圆
的位置关系是 ( )

A.相交??????????????????B.相切 C.相离?????????? ????D.以上三种情况均有可能

7．已知l，m是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，给出下列条件，能得到

α∥β的是 (　　)

A．l∥α，l∥β B．α⊥γ，β⊥γ

C．m?α，l?α，m∥β，l∥β D．l⊥α，m⊥β，l∥m

8．已知
是平面上不共线的三点，
是三角形
的重心，动点满足
,则点一定为三角形
的（ ）

A.
边中线的中点 B.
边中线的三等分点（非重心） C.重心 D.
边的中点

9．如图，
是双曲线
：
（
）

的左、右焦点，过
的直线
与的左、右两支分别

交于
两点．若

则双曲线的离心率为 ( ) …

A．
B．
C．2 D．

10．单位正方体在一个平面内的投影面积的最大值和最小值分别为（　）

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）

11 . 在正方体
中，
分别为棱
的中点，则异面直线
与
所成角的余弦值是 .

12 . 直线
经过椭圆
(a＞b＞0)的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离心率等于 .

13 . 正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则O到平面ABC1D1的距离为 .

14 . 已知点
，
到直线
：
的距离相等，则实数的值等

于 .

15．已知直线
的方向向量是
，平面
的法向量分别是
若
，且
，
，则
与的关系是

16 .过双曲线
：

的右顶点A作斜率为1的直线，分别与两渐近线交于
两点，若
，则双曲线
的离心率为 .

17．棱长为2的正四面体
在空间直角坐标系中移动，但保持点
分别在轴、轴上移动，则原点
到直线
的最近距离为_____ ___

三、解答题：（本大题共5个小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18 .（本题满分14分）

已知圆
，
是轴上的动点，
、
分别切圆
于、两点.

（1）如果
=
，求直线
的方程；

（2）求动弦
的中点的轨迹方程.

19.（本题满分14分）

在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，

EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的

中点．

(1)求证：BD⊥EG；

(2)求二面角C－DF－E的余弦值．

20 . （本题满分14分）

如图，在各棱长均为的三棱柱
中，侧面
底面
，
．

（1）求侧棱
与平面
所成角的正弦值的大小；

（2） 已知点满足
，在直线
上是否存在点，

使
？若存在，请确定点的位置；若不存在，

请说明理由．

21. （本题满分15分）

已知椭圆
的左顶点
，过右焦点且垂直于长轴的弦长为
．

（1）求椭圆
的方程；

（2）若过点的直线
与椭圆交于点
，与轴交于点，过原点与
平行的直线与椭圆交于点，求证：
为定值．

22. （本题满分15分）

如图，
是离心率为
的椭圆
的左、右焦点，直线
：
将线段
分成两段，其长度之比为
．设
是C上的两个动点，线段
的中垂线与C交于
两点，线段AB的中点M

在直线上．

（1） 求椭圆
的方程； （2） 求
的取值范围．

…

余姚中学 高二数学期中考试试卷（理科）

三、解答题：

19.(1)证明：∵EF⊥平面AEB，AE?平面AEB，BE?平面AEB，

∴EF⊥AE，EF⊥BE.又AE⊥EB，

∴EB，EF，EA两两垂直． ……………………（2分）

以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x，y，z轴

建立如图所示的空间直角坐标系． …………（4分）

由已知得，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，F(0,3,0)，D(0,2,2)，G(2,2,0)．

∴
＝(2,2,0)，
＝(－2,2,2)．

∴
·
＝－2×2＋2×2＝0.

∴
⊥
. …………………………………………（7分）

(2)由已知得
＝(2,0,0)是平面EFDA的一个法向量．

设平面DCF的法向量为n＝(x，y，z)，

∵
＝(0，－1,2)，
＝(2,1,0)，

∴即

令z＝1，得n＝(－1,2,1)． ………………………………………………（10分）

设二面角C－DF－E的大小为θ，

则cosθ＝cos〈n，
〉＝－＝－.

∴二面角C－DF－E的余弦值为－. ……………………（14分）

20 . 解：（1)∵侧面
底面
，作
于点
，∴
平面
.

又
，且各棱长都相等，∴
，
，
. ---------（2分）

故以
为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
，则

，
，
，
，

∴
，
，
．--（4分）

设平面
的法向量为
，

则
解得
. ---（6分）

由
．

而侧棱
与平面
所成角，即是向量
与平面
的法向量所成锐角的余角，

∴侧棱
与平面
所成角的正弦值的大小为
． -------（8分）

(2)∵
，而
∴

又
，∴点的坐标为
． -------（10分）

假设存在点符合题意，则点的坐标可设为
，∴
．

∵
，
为平面
的法向量，

由
，得
． --------（12分）

又
平面
，故存在点，使
，其坐标为
，

即恰好为
点． --------（14分）

（2）由题意知，直线
斜率存在，故设为
，则直线
的方程为
，直线
的方程为
．可得
，则
． …………（8分）

设
，
，联立方程组
，

消去得：
，…

，
，

则
．

……（11分）

设
与椭圆交另一点为
，
，联立方程组
，

消去得
，
，

所以
． …………（13分）

故
．

所以
等于定值． ------------（15分）

22.．

解：（1）设F2（c，0），则
=
，所以c=1．

因为离心率e=
，所以a=
，所以b=1…

所以椭圆C的方程为
． -----------------（6分）

（2）当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x=﹣
，此时P（
，0）、Q（
，0），
． ---------（8分）

当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k，M（﹣
，m） （m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．

由
得（x1+x2）+2（y1+y2）
=0，

则﹣1+4mk=0，∴k=

此时，直线PQ斜率为k1=﹣4m，PQ的直线方程为
，即y=﹣4mx﹣m．

联立
消去y，整理得（32m2+1）x2+16m2x+2m2﹣2=0．

所以
，
． --------------------（10分）

于是
=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=x1x2﹣（x1+x2）+1+（4mx1+m）（4mx2+m）

=

=
=
．

令t=1+32m2，1＜t＜29，则
．

又1＜t＜29，所以
．

综上，
的取值范围为[﹣1，
）．-------------------------（15分）

…