吉林市普通中学2013-2014学年度上学期期中教学质量检测

高二数学（理）

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。）

1. 按数列的排列规律猜想数列
的第10项是

A．
B．
C．
D．

2. 等差数列
中，
时，则序号等于

A. 99 B. 100 C. 96 D. 101

3. 数列
中，“
”是“数列
是递增数列”的

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 若
，则
的最小值是

A． 0 B． 2

C.
D． 3

5. 在
中,
分别是角
的对边，
,则此三角形解

的情况是

A. 一解 B. 两解

C. 一解或两解 D. 无解

6. 若关于的不等式
的解集是
，则对任意实常数
，总有

A．
B．

C．
D．

7. 对于数列
，定义数列
为数列
的“差数列”，若
，
的“差数列”的通项公式为
，则数列
的通项公式
＝

A.
B.

C.
D.

8. 如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为

A.
海里/时

B.
海里/时

C.
海里/时

D.
海里/时

9. 过圆
内一点
有
条弦的长度组成等差数列，且最小弦长为数列首项
，最大弦长为数列的末项
，若公差
，则
的取值不可能是

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

10. 设
是等差数列，
是
的前项和，且
，下列四个结论：

①
； ②
； ③
； ④
均为
的最大值.

其中正确结论的个数是

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

11. 给出命题：关于的不等式
的解集为;

命题：函数
的定义域为。

若“
”为假命题，“
”为真命题，则的取值范围是

A.
B.

C.
D.

12.
的内角
对边分别为
，若
，则等于

A．30° B．60°

C．120° D．150°

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13．命题：“若
，则
”的逆否命题是

14.
的内角
对边分别为
，且b＝1，c＝2，如果
是锐角三角形，则a的取值范围是

15. 已知
的可行域如图阴影部分,其中
,

在该区域内取得最小值的最优解有无数个，

则=

16. 研究问题：“已知关于x的不等式
的解集为（1，2），解关于x的不等

式
”. 有如下解法：

解：由
且
，所以
，得
，

设
,得
,由已知得：
,即
，

所以不等式
的解集是
.

参考上述解法，解决如下问题：已知关于x的不等式
的解集是:

，则不等式
的解集是

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应根据要求写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本题满分10分）

设锐角
的内角
的对边分别为
，
.

（I）求角的大小； （II）若
，求
.

18．（本题满分12分）

若关于的不等式
的解集是
，

（I）求的值；

（II）求不等式
的解集.

19. （本题满分12分）

等比数列
中，已知

?? （I）求数列
的通项公式；

? ?（Ⅱ）若
分别为等差数列
的第3项和第5项，试求数列
的通项公式及前项和

20．（本题满分12分）

如图，一个铝合金窗分为上、下两栏，四周框架(阴影部分)的材料为铝合金，宽均为6cm,上栏与下栏的框内高度（不含铝合金部分）的比为1:2，此铝合金窗占用的墙面面积为28800cm2，设该铝合金窗的宽和高分别为cm和
cm，铝合金窗的透光部分的面积为
cm2.（I）试用
表示
；

（Ⅱ）若要使
最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？

21．（本题满分12分）

的内角
对边分别为
，已知
成等差数列，
的面积为
.

（I） 求证：、、成等比数列；

（II）求
的周长的最小值，并说明此时
的形状.

22. （本题满分12分）

设数列
的前项和为
，其中
，
为常数，且
成等差数列．

（Ⅰ）当
时，求
的通项公式；

（Ⅱ）当
时，设
，若对于
，

恒成立，求实数
的取值范围

（Ⅲ）设
，问：是否存在
，使数列
为等比数列？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．

命题、校对：孙长青

吉林市普通高中2013-2014学年度数学模块教学质量检测

高二数学（理）参考答案与评分标准

一、选择题

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



C

B

B

D

B

A

C

B

A

C

D

A





二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13．若x≥1或x≤－1，则x2≥1 14. 

三、解答题

17．（本题满分10分）

解：（I）由正弦定理
得：
-----------4分

-----------5分

（II）
-----10分

18．（本题满分12分）

解（I）依题意，可知方程
的两个实数根为
和1， ┄┄┄┄┄┄2分

+1=
解得： =－2 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分

（II）
，
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分

因为
有两根为

所以解集为
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分

19. （本题满分12分）

解：（I）设公比为，由题意
----------------------------------------1分

由
得：
（1）

由
得：
（2） --------------4分

（2）÷（1）得：
，代入（1）得

所以
----------------------------------------6分

（I）设
的公差为
，

， ----------------------------------------10分

----------------------------------------11分

，
---------12分

20．（本题满分12分）

解（1）∵铝合金窗宽为acm，高为bcm，a>0,b>0.ab=28800,

又设上栏框内高度为hcm，下栏框内高度为2hcm,则3h＋18=b,∴h=

∴透光部分的面积S=（a－18）×＋（a－12）×=（a－16）（b－18）

=ab－2（9a＋8b）＋288=29088－18a-16b ------------------------------------6分

（2）9a＋8b2=2880, S=29088－18a-16b=29088－2(9a+8b) 29088-2×2880

当且仅当9a=8b,即a=160,b=180时S取得最大值。

∴铝合金窗宽为160cm，高为180cm时透光部分面积最大。 ---------------------------12分

21．（本题满分12分）

解（1）证明：∵A、B、C成等差数列，∴B=600， -----------------------------------2分

又(ABC的面积为
，∴
，∴ac=4 -----------------------------5分

∴a、2、c成等比数列 ----------------------------------6分

（2）在(ABC中，根据余弦定理，得

b2=a2+c2-2accos600

=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac=4，∴b≥2, 当且仅当a=c时，等号成立 -------------------------------9分

∴(ABC的周长L=a+b+c≥
=
.当且仅当a=c时，等号成立

∴
, 当且仅当a=c时，等号成立

∴(ABC周长的最小值为6，

因为a=c，B=600，此时(ABC为等边三角形. -----------------12分

22. （本题满分12分）

解：（I）

当
时，
，两式相减得：
------2分

当
时，
，
，适合
------------3分

所以
是以
为首项，以2为公比的等比数列，因为

所以
---------------------------------------------------4分

（II）由（1）得
，所以
=

因为
，所以
，所以
-----------------8分

（III）由（1）得
是以
为首项，以2为公比的等比数列

所以
=
--------------------------10分

要使
为等比数列，当且仅当

所以存在
，使
为等比数列 --------------------------------12分