2013-2014学年第一学期宝安区期末调研测试卷

高二 理科数学

2014.1

命题人：吕正军、张松柏 审核：郑传林

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．命题“对任意
,都有
”的否定为（D）.

A．对任意
,都有
B．不存在
,都有

C．存在
,使得
D．存在
,使得

2．在
中，角
、
、
的对边分别为
，若
，则
的值是（A）.

A．
B．
C．
D．

3．方程
化简结果是（ B ）.

A．
B．
C．
D．

4．命题“若
，则
”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为（ B ）.

A．1 B．2 C．3 D．4

5．点
关于
轴对称的点的坐标为（D）.

A．
B．
C．
D．

6．若椭圆
的右焦点与抛物线
的焦点重合，则
（D）.

A．3 B．6 C．9 D．12

7．如果函数
的最小正周期为
，且当
时取得最大值，那么（A）.

A．
B．
C．
D．

8．下列函数中，既是偶函数又在
单调递增的函数是（C）.

A．
B．
C．
D．

9．实数
满足
如果目标函数
的最小值为
，则实数
的值为（D）.

A．0 B．6 C．7 D．8

10．若规定
，不等式
对一切
恒成立，则实数
的最大值为（B）.

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.

11．已知数列
的前n项和
，那么它的通项公式为

12．已知向量
-3

13．已知点
、
，过
、
作两条互相垂直的直线
和
，则
和
的交点
的轨迹方程为 (化为标准形式)

14．海事救护船
在基地的北偏东
，与基地相距
海里，渔船
被困海面，已知
距离基地
海里，而且在救护船
正西方，则渔船
与救护船
的距离是 . 20或40海里

三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15．（本小题满分12）已知
是等差数列,其中
.

（1）求数列
的通项公式；（2）若
，求数列
的前
项和
的最小值.

解：（1）由
得：
…2分,解得
4分,所以
…6分

（2）由
得：
， …7分

所以，当
时，
；当
时，
；当
时，
，…9分

由此可知：数列
的前
或
项的和最小． …11分

又
，数列
的前
项和
的最小值为
．……12分

16．（本小题满分12分）

已知命题
；命题
表示双曲线。若
，求实数
的取值范围.

解：若p为真，不等式
有解，则
，解得
；………4分，若q为真，则
解得1

因为
，故p，q为真，由
解得

所以，
的取值范围为
………12分

17．（本小题满分14分）在
中，角
所对的边长分别为
，
,
,
.

（1）求
的值； （2）求
的值.

解：(1)由正弦定理得
…2分

. …6分

（2）解法1：由
…7分得：
. ………8分,又由余弦定理得
…9分 所以
，整理得
， …11分

解得
或
. …………12分

当
时，由
,
可知：
,这与
矛盾，应舍去. …13分

所以
.……14分

18．（本小题满分14分）如图所示，已知长方体
中，
，
，E是棱CC1上的点，且
.（1）求证
；（2）求直线
与直线
所成角的正弦值.

解 如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别

为x、y、z轴建立空间直角坐标系D—xyz. ………2分

∴D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），

A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）.

设E点坐标为（0，2，1），则
=（-2，0，1），

=（-2，0，-4）.
·
=4+0-4t=0

∴BE⊥B1C，（10分）

（2）
,则

所以二直线成角的正弦值为
（14分）

19．（本小题满分14分）某工厂生产某种产品,每日的成本
(单位:万元)与日产量

(单位:吨)满足函数关系式
,每日的销售额
(单位:万元)与日产量
的函数关系式

已知每日的利润
,且当
时,
.

（1）求
的值;（2）当日产量为多少吨时,每日的利润可以达到最大,并求出最大值.

解析：（Ⅰ）由题意可得：
， -----2分

因为
时，
，所以
. ---4分

解得
. -------------5分

（Ⅱ）当
时，
，所以

．--8分

当且仅当
，即
时取得等号． ---------------10分

当
时，
． -------------12分

所以当
时，
取得最大值
．

所以当日产量为
吨时，每日的利润可以达到最大值
万元． -----------------14分

20．（本小题满分14分）已知椭圆
的焦点为
、
，点
在椭圆上．

（1）求椭圆
的方程；

（2）若抛物线E：
（
）与椭圆
相交于点
、
，当
（
是坐标原点）的面积取得最大值时，求
的值．

（3）在（2）的条件下，过点
作任意直线
与抛物线E相交于点
、
两点，则直线
与直线
的斜率之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由。

⑴方法一：依题意，设椭圆
的方程为
……1分，

……2分，
，所以
……3分，

，所以
……4分，椭圆
的方程为
……4分

方法二：依题意，设椭圆
的方程为
，c=1

又

联立（1）（2）得
，所以椭圆
的方程为

根据椭圆和抛物线的对称性，设
、
（
）……5分，

的面积
……6 分，

法1、
在椭圆上，
，所以

那么

当
时，
，即当

。将
代入
得

……8分，
即
在抛物线
上，所以
，

解得
。……9分，

法2、
在椭圆上，
，所以
，等号当且仅当
时成立

解
（
）得

即
在抛物线
上，所以
解得

法3、
在椭圆上，
，令

那么

当
时，
，此时
，则

即
在抛物线
上，所以
，解得

（3）（A）当直线
垂直于
轴时，根据抛物线的对称性，有
则
；……10分，

（B）当直线
与
轴不垂直时，依题意，可设直线
的方程为
，

，则A，B两点的坐标满足方程组
……11分，化简得
，依韦达定理得
…12分，

又
，则

所以

，将
代入得

综上，直线
与直线
的斜率之和为定值0. ……14分，