鹰潭一中高二年级月考数学试卷（理科）

一、选择题 (本大题共10个小题，每小题5分，共50分)

1、椭圆
的离心率为（ ）

A、
B、
C、
D、

2.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心率为(　　)

A、
B、
C、
D、

3.样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为(　　)

A、　 B、  C、　 D、 2

4.已知抛物线y2=4x的准线与双曲线
-y2=1(a>0)相交于A,B两点,且F是抛物线的焦点,若△FAB是直角三角形,则双曲线的离心率为(　　)

A、
B、
C、2 D、3

5.长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E为CC1的中点,则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为(　 　)

A、
B、
C、
D、

6.在△ABC中,条件甲:Acos2 B,则甲是乙的(　 　)

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件

C、充要条件 D、既非充分也非必要条件

7. 如图，是一个算法程序框图，在集合A＝{x|－10≤x ≤10，x ∈R}中随机抽取一个数值做为x输入，则输出的y值落在区间(－5,3)内的概率为(　　)

A、0.4　　 B、 0.5 C、 0.6　 　 D、 0.8

8.已知直线y=kx+1,当k变化时,此直线被椭圆
+y2=1截得的最大弦长是(　 　)

A、4 B、
C、2 D、不能确定

9.已知椭圆
+
=1(a>b>0),A(2,0)为长轴的一个端点,弦BC过椭圆的中心O,且
·
=0,|
-
|=2|
-
|,则其焦距为(　 　)

A、
B、
C、
D、

10.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点,焦点在x轴上,左、右焦点分别为F1、F2,且它们在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若|PF1|=10,双曲线的离心率的取值范围为(1,2).则该椭圆的离心率的取值范围是(　　) A、
B、
C、
D、

二、填空题 (本大题共5个小题，每小题5分，共25分)

11.已知命题:“?x∈[1,2],使x2+2x-a≥0”为真命题,则a的取值范围是　　　　.?

12. 下图所示的程序是计算函数f(x)函数值的程序，若输出的y值为4，则输入的x值是 。

13.若A
,B
,C
是平面α内的三点,设平面α的法向量a=(x,y,z),则x∶y∶z=　　　　.?

14. P是二面角αABβ棱上的一点,分别在α、β平面上引射线PM、PN,如果

∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°,那么二面角αABβ的大小为　　　　.?

15.已知椭圆
的左、右焦点分别为
，若椭圆上存在一点使
，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．

三、解答题 (本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16．已知：方程
有两个不等的负实根，

：方程
无实根． 若或为真，且为假．

求实数的取值范围。

17.如图，在四棱锥M－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且AM和AB、AD的夹角都是60°，N是CM的中点，设a＝A，b＝，c＝A，试以a，b， c为基向量表示出向量，并求BN的长．

18. 已知关于x的一元二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0.

(1)若a，b是一枚骰子先后投掷两次所得到的点数，求方程有两个正实数根的概率； (2)若a ∈[2,6]，b ∈[0,4]，求一元二次方程没有实数根的概率．

19．如图所示，设点F坐标为 (1 , 0 )，点P在y轴上运动，点M在x轴运动上，其中
·
=0，若动点N满足条件
?

(Ⅰ）求动点N的轨迹的方程；

(Ⅱ）过点F(1 , 0 )的直线l和
分别与曲线交于A、B两点和C、D两点，若
，试求四边形ACBD的面积的最小值.

20.如图所示,四棱锥SABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的
倍,P为侧棱SD上的点.

(1)求证:AC⊥SD; (2)若SD⊥平面PAC,求二面角PACD的大小;

(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC?若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由.

21、如图，已知椭圆
的离心率为
，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点
为顶点的三角形的周长为
.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线
和
与椭圆的交点分别为
和
.

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；

（Ⅱ）设直线
、
的斜率分别为
、
，证明
；

（Ⅲ）是否存在常数
，使得
恒成立？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由.

（理科）一、选择题 ADDBB CDBCB

二、填空题11、a≤8 12、－4,0,4 13、2∶3∶(-4) 14、90°15、

16、由题意，p， q中有且仅有一为真，一为假。

p真


m>2， q真
<0
1

若p假q真，则

1

综上所述：m∈(1，2]∪[3，+∞)．

17、＝－a＋b＋c，||＝，即BN的长为.

18、(1)基本事件(a，b)共有36个，且a，b∈{1,2,3,4,5,6}，方程有两个正实数根等价于a－2>0,16－b2>0，Δ≥0，即a>2，－4

设“一元二次方程有两个正实数根”为事件A，则事件A所包含的基本事件数为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共4个，故所求的概率为P(A)＝＝.

(2)Ω＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4}，其面积为S(Ω)＝16.

设“一元二次方程无实数根”为事件B，则构成事件B的区域为B＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4，(a－2)2＋b2<16}，其面积为S(B)＝×π×42＝4π，

故所求的概率为P(B)＝＝.

19、（Ⅰ）设N ( x , y ) , M ( x0 , 0 ) , P ( 0 , y0 )则
= (x0 , – y0 ) ???

= ( x , y – y0 ) 由
·
=0得x0 +
=0???? ?①

? 由
+
= 0，得( x + x0 , y – 2y0 ) = 0 即
?? ∴

代入①得，y2 = 4x 即为所求?

(Ⅱ）设l方程为y =k ( x – 1 ) , 由
??? 消去x，得y2 –
=0

设A (x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , 则y1y2 = – 4，
，于是

，

同理，
.

于是

20、(1)连接BD,设AC交BD于O,由题意知SO⊥平面ABCD,以O为坐标原点,
、
、
分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系.

设底面边长为a,则高SO=
a.于是S
,D
,C
,

=
,
=
,
·
=0,故OC⊥SD,从而AC⊥SD.

(2)平面PAC的一个法向量为
=
,平面DAC的一个法向量
=
,则cos<
,
>=
=
,故所求二面角的大小为30°.

(3)在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.由(2)知
是平面PAC的一个法向量,且
=
,
=
,

设
=t
(0≤t≤1),
=
+
=
+t
=
,而
·
=0?t=
,

即当SE∶EC=2∶1时,BE∥平面PAC.

21、（Ⅰ）椭圆的标准方程为
；双曲线的标准方
。