江苏无锡一中2013—2014学年度上学期期中考试

高二数学文试题

一、填空题（本大题共有14小题，每小题5分，共70分）

1．命题：“
，
”的否定为： ．

2．抛物线
的焦点坐标为 ．

3．如图，在正方体
中，异面直线
与
所

成角的大小为 ．

4．双曲线
的渐近线方程为 ．

5．“
”是“
”的 条件．（填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”）

6．椭圆
上横坐标为2的点到右焦点的距离为 ．

7．设
是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是 ．（填写所

有正确命题的序号）

①若
，则
；②若
∥，则
；

③若
∥
，则
∥；④若
∥
∥，则
∥.

8. 用长、宽分别是12与8的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱的体积为 ．

9．直线
与圆
相交于
两点，若
，则
的取值范围是 ．

10.已知双曲线
的一条准线方程是
，则实数
．

11.设
是球
表面上的四个点，
两两垂直，且
，
，

，则该球的表面积为 ．

12.已知直线
与曲线
有且仅有一个公共点，则实数
的取值范围为 ．

13.在
中，已知
，则
面积的最大值是 ．

14.已知直线
与椭圆
相交于
两点，且
为坐标原点)，若椭圆的离心率
，则的最大值为 ．

二、解答题（本大题共有6小题，满分90分．解答需写出文字说明、推理过程或演算步骤）

15.已知
且
.设命题
函数
是定义在R上的增函数；命题
关于的方程
有两个不等的负实根.若“或”为真命题，“且”为假命题，求实数的取值范围.

16.如图，在直三棱柱
中，
分别是
的中点，点在
上，
．

求证：（1）
∥平面
；

（2）平面
平面
．

17.已知双曲线
以点
为顶点，且过点
.

（1）求双曲线
的标准方程；

（2）求离心率为
，且以双曲线
的焦距为短轴长的椭圆的标准方程；

（3）已知点在以点为焦点、坐标原点为顶点的抛物线
上运动，点
的坐标为
，求
的最小值及此时点的坐标.

18.如图，直角三角形
的顶点坐标
，直角顶点
，顶点
在轴上，点为线段
的中点．

（1）求
边所在直线方程；

（2）求三角形
外接圆的方程；

（3）若动圆
过点且与
的外接圆内切，

求动圆
的圆心
所在的曲线方程．

19.如图，平面四边形
中，
，
，
，沿对角线
将
折起，使平面
与平面
互相垂直.

（1）求证：
；

（2）在
上是否存在一点，使
平面
，证明你的结论；

（3）求点
到平面
的距离.

20.在平面直角坐标系
中, 椭圆
的离心率为
,右顶点为,直线
过原点
,且点在轴上方,直线
与
分别交直线
于点
.

（1）若点
,求
的面积；

（2）若点为动点,设直线
与
的斜率分别为
.

①试探究
是否为定值.若为定值，请求出值；若不为定值,请说明理由.

②求
的面积的最小值.

参考答案

1．
2．

3．
4．

5．必要不充分 6．

7．② 8．
或

9．
10．

11.
12.

13.
14.

15. 已知
且
.设命题
函数
是定义在R上的增函数；命题
关于的方程
有两个不等的负实根.若“或”为真命题，“且”为假命题，求实数的取值范围.

解：真：依题意，
…………………4分

真：

（法二：

）用韦达也可以 …………………6分

或为真，且为假

一真一假 …………………7分

…………………11分

…………………14分

16. 如图，在直三棱柱
中，
分别是
的中点，点在
上，
．

求证：（1）
∥平面
；

（2）平面
平面
．

证明：（1）
分别是
的中点

……………3分

又

…………………6分

（2）直三棱柱

…………………7分

又

…………………9分

又

…………………12分

又

…………………14分

17. 已知双曲线
以点
为顶点，且过点
.

（1）求双曲线
的标准方程；

（2）求离心率为
，且以双曲线
的焦距为短轴长的椭圆的标准方程；

（3）已知点在以点为焦点、坐标原点为顶点的抛物线
上运动，点
的坐标为
，求
的最小值及此时点的坐标.

解：（1）依题意，
…………………2分

设

将
代入，得

双曲线标准方程为：
…………………4分

（2）由（1）知，

椭圆标准方程为：
或
…………………9分

（3）依题意，抛物线标准方程为：

设点到准线
的垂线段为

此时，
…………………14分

18.如图，直角三角形ABC的顶点坐标A(－2，0)，直角顶点B（0，－2），顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点．

（1）求BC边所在直线方程；

（2）求三角形
外接圆的方程；

（3）若动圆
过点且与
的外接圆内切，

求动圆
的圆心
所在的曲线方程．

解：（1）∵kAB=－，AB⊥BC，∴kCB=，　　 ……………………………2分

∴直线BC方程为:y=x－2． ……………………………4分

（2）直线BC与x轴交于C,令y=0，得C(4，0)，∴圆心M（1，0），……………7分

又∵AM=3，∴外接圆的方程为
． ……………………10分

（3）∵P(－1，0)，M(1，0)，

∵圆N过点P(－1，0)，∴PN是该圆的半径．

又∵动圆N与圆M内切，∴MN=3－PN，即MN+ PN=3． ……………12分

∴点N的轨迹是以M、P为焦点，长轴长为3的椭圆， ……………14分

∴a=，c=1， b2=a2－c2=，∴轨迹方程为
． …………………16分

19. 如图，平面四边形
中，
，
，
，沿对角线
将
折起，使平面
与平面
互相垂直.

（1）求证：
；

（2）在
上是否存在一点，使
平面
，证明你的结论；

（3）求点
到平面
的距离.

证明： AB=BC，
即

即
,

又平面ABC平面ACD,

平面ABC
平面ACD=AC,

平面ACD

…………………3分

,
…………………4分

（2）存在，P为BD中点. …………………6分

证明： BC=CD，
, …………………7分

由（1）知，

又

AB⊥平面BCD …………………8分

又

, …………………10分

,

平面ABD …………………12分

（3）由（1）知，

又

…………………14分

又BC=CD=，P为BD中点