江苏无锡一中2013—2014学年度上学期期中考试

高二数学理试题

一．填空题

1．直线
的倾斜角是_______________．

2．对于命题p：
，使得
．则
为：_________．

3．抛物线
的焦点坐标为___________.

4．若双曲线
(b＞0) 的渐近线方程为y=±x ，则b等于 .

5．圆
和圆
外切，则常数的值为 ．

6．已知在正三棱锥
中，侧棱与底面边长相等，
分别是
的中点，有下列四个结论：①
平面
；②
平面
；③平面
平面
；④平面
平面
，其中正确的结论有__________．

7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角
的正切值

为 ．

8．已知p：x({x|一4＜x－a＜4}，q：x({x|(x一2)(3一x)＞0}，

若?p是?q的充分条件，则实数a的取值范围为 .

9．已知直线
与曲线
有且仅有一个公共点，则实数
的取值范围为_______．

10．点是方程
所表示的曲线上的点，若点的纵坐标是，则其横坐标为____________.

11．正三棱锥
中，
，过点作一截面与侧

棱
分别交于点
，则截面
周长的最小值为 .

12．设
是球
表面上的四个点，
两两垂直，且
，
，
，则球
的表面积为 ．

13．椭圆
的左焦点为F，直线
与椭圆相交于A，B两点，当
的周长最大时，
的面积为
.若b(1，则椭圆的准线方程是 .

14. 已知直线
与椭圆
相交于
两点，且
(
为坐标原点)，若椭圆的离心率
，则的最大值为_________.

二．解答题

15．已知
，设
函数
在上单调递减；
不等式
的解集为．若或为真，且为假，求实数的取值范围．

16. 如图，在直三棱柱
中，
分别是
的

中点，点在
上，
．

求证：（1）
∥平面
；

（2）平面
平面
．

17．如图，直角三角形ABC的顶点坐标A(－2，0)，直角顶点B（0，－2），顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点．

（1）求BC边所在直线方程；

（2）求三角形ABC外接圆的方程；

（3）若动圆N过点P且与三角形ABC外接圆内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程．

18. 如图，平面四边形
中，
，
，
，沿对角线
将
折起，使平面
与平面
互相垂直.

（1）求证：
；

（2）在
上是否存在一点，使
平面
，证明你的结论；

（3）求点
到平面
的距离.

19. 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽为
m，要求通行车辆限高4.5m，隧道全长为2.5km，隧道的拱线可近似的看成半个椭圆形状.

（1）若最大拱高
为6m，则隧道设计的拱宽
是多少？

（2）若最大拱高
不小于6m，则应如何设计拱高
和拱宽
，才能使隧道的土方工程量最小？

（注：1.半个椭圆的面积公式为
；

2.隧道的土方工程量=截面面积隧道长）.

20. 如图, 在平面直角坐标系
中, 已知椭圆
经过点

,椭圆的离心率
.

（1）求椭圆
的方程；

（2）过点
作两直线与椭圆
分别交于相异两点、.若
的平分线与轴平行, 试探究直线
的斜率是否为定值？若是, 请给予证明；若不是, 请说明理由.

无锡市2013年秋学期普通高中期中考试试卷 2013．11

高二数学（理科成志班附加题）

1.过椭圆
在第一象限内的点作圆
的两条切线，当这两条切线垂直时，点的坐标是___________.

2.已知中心在原点
，焦点在轴上，离心率为
的椭圆过点
.设不过原点
的直线
与该椭圆交于
两点，且直线
的斜率依次成等比数列，求
面积的取值范围.

参考答案

一．填空题

1.
； 2.
； 3.
； 4.； 5.
；

6. ①②③④； 7.
； 8.
.； 9.
； 10.
；

11.
； 12.
； 13.
； 14.
.

二．解答题

15．已知
，设
函数
在上单调递减；
不等式
的解集为．若或为真，且为假，求实数的取值范围．

解：若为真，则
，若为真，则
.

因为或为真，且为假，所以，一真一假，因此
.

16. 如图，在直三棱柱
中，
分别是
的中点，点在
上，
．

求证：（1）
∥平面
；

（2）平面
平面
．

证明：（1）
分别是
的中点，

又
，

（2）直三棱柱
，

又
，

又
，
，
，

又

17．如图，直角三角形ABC的顶点坐标A(－2，0)，直角顶点B（0，－2），顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点．

（1）求BC边所在直线方程；

（2）求三角形ABC外接圆的方程；

（3）若动圆N过点P且与三角形ABC外接圆内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程．

解：（1）∵kAB=－，AB⊥BC，∴kCB=，　

∴直线BC方程为:y=x－2．

（2）直线BC与x轴交于C,令y=0，得C(4，0)，

∴圆心M（1，0），又∵AM=3，

∴外接圆的方程为
．

（3）∵P(－1，0)，M(1，0)，

∵圆N过点P(－1，0)，∴PN是该圆的半径．

又∵动圆N与圆M内切，∴MN=3－PN，即MN+ PN=3．

∴点N的轨迹是以M、P为焦点，长轴长为3的椭圆，

∴a=，c=1，b2=a2－c2=，∴轨迹方程为
．

18. 如图，平面四边形
中，
，
，
，沿对角线
将
折起，使平面
与平面
互相垂直.

（1）求证：
；

（2）在
上是否存在一点，使
平面
，证明你的结论；

（3）求点
到平面
的距离.

（1）证明： AB=BC，
即

即
,

又平面ABC平面ACD,

平面ABC
平面ACD=AC,

平面ACD

,

（2）存在，P为BD中点.

证明： BC=CD，
,

由（1）知，

又

AB⊥平面BCD

又

,

,

平面ABD

（3）由（1）知，

又

又BC=CD=，P为BD中点

由（2）知，
平面ABD

点C到平面ABD的距离即
的长，为

（证法二）AB⊥平面BCD，
,

,
，

，

，

.

设点C到平面ABD的距离为
，则
，

所以
.

19. 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽为
m，要求通行车辆限高4.5m，隧道全长为2.5km，隧道的拱线可近似的看成半个椭圆形状.

（1）若最大拱高
为6m，则隧道设计的拱宽
是多少？

（2）若最大拱高
不小于6m，则应如何设计拱高
和拱宽
，才能使隧道的土方工程量最小？

（注：1.半个椭圆的面积公式为
；

2.隧道的土方工程量=截面面积隧道长）.

解：（1）以车道中点为原点，建立直角坐标系

则P(
，4.5),

设椭圆的方程为
，

则
解之得：

此时
.

（2）由
可知

故
，所以
，当且仅当
时取等.

答：当拱高为
拱宽为
时，土方工程量最小.

20. 如图, 在平面直角坐标系
中, 已知椭圆
经过点

,椭圆的离心率
,
、
分别是椭圆的左、右焦点.

（1）求椭圆
的方程；

（2）过点
作两直线与椭圆
分别交于相异两点、.若
的平分线与轴平行, 试探究直线
的斜率是否为定值？若是, 请给予证明；若不是, 请说明理由.

解：（1）由
，得
，故椭圆方程为
，

又椭圆过点
,则
，解之得
，

因此椭圆方程为

(2)设直线
的斜率为
，
，由题，直线MA与MB的斜率互为相反数，直线MB的斜率为
，联立直线MA与椭圆方程：
，

整理得
，由韦达定理，
，

，整理可得
，

又

所以
为定值.

成志班附加：

1.过椭圆
在第一象限内的点作圆
的两条切线，当这两条切线垂直时，点的坐标是___________.
……………………(5分)

2.已知中心在原点
，焦点在轴上，离心率为
的椭圆过点
.设不过原点
的直线
与该椭圆交于
两点，且直线
的斜率依次成等比数列，求
面积的取值范围.

解：由题意可设椭圆方程为

，

由
得
，

所以，椭圆方程为
． ……………………(4分)

由题意可知，直线
的斜率存在且不为
，故可设直线
的方程为