数学（理）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.下列命题不正确的是（ ）

A．若如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线，则两平面垂直

B．若一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，则两平面平行

C．若一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线和交线平行

D．若两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直，则这两条直线垂直

2.已知双曲线
的离心率
，则它的渐近线方程为 ( )

A.
B.
C.
D.

3．若
，则下列不等关系中，不能成立的是（ ）

A．
B．
C．
D．

4．下列四个数中，哪一个是数列{
}中的一项 （ ）

A．380 B． 39 C． 35 D． 23

5．若数列
满足
，

，则其通项
=（? ）

A．
B．
C．
D．

6.空间四边形ABCD中，M，N分别是AB和CD的中点，AD=BC=6，MN=
则AD和BC所成的角是（ ）

A.
B.
C.
D.

7.下列命题

①命题“若
，则
”的逆否命题是“若
，则
”.

②命题

③若
为真命题，则p,q均为真命题.

④“
”是“
”的充分不必要条件。

其中真命题的个数有（ ）

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

8.已知两个不同的平面
和两条不重合的直线
，则下列命题不正确的是 （ ）

A.若

则

B. 若

则

C.若
，

，则

D.若
,
，则

9. 已知抛物线
的焦点与椭圆
的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为，且
与轴垂直，则椭圆的离心率为（ ）

A.
B．
C．

D．

10.椭圆
内的一点
，过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在的直线方程

A.

B.

C.
D.

11．不等式组
表示的平面区域是（ ）

A .矩形 B .三角形 C. 直角梯形 D . 等腰梯形

12.已知椭圆
与双曲线
有共同的焦点
，
，椭圆的一个短轴端点为，直线
与双曲线的一条渐近线平行，椭圆
与双曲线
的离心率分别为
，则
取值范围为（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题（每题5分，共20分）

13.命题“
”为假命题，则实数的取值范围为 .

14.椭圆
的焦点为
，点在椭圆上，若
，
的小大为 ．

15.下列各图中，、为正方体的两个顶点，
、
、分别为其所在棱的中点，能得出
//平面
的图形的序号是 ．

16.抛物线
的焦点为，
在抛物线上，且
，弦的中点在其准线上的射影为，则
的最大值为


三、解答题(本题有6小题,共75分)

17.(本小题满分10分)

求经过直线
的交点M,且满足下列条件的直线方程：

(1)与直线2x+3y+5=0平行;

(2)与直线2x+3y+5=0垂直.

18．(本小题满分12分)

设命题
；命题：不等式
对任意
恒成立．若
为真，且或
为真，求的取值范围．

19．（本小题满分12分）

在等比数列
中，
，

（1）
和公比；

（2）前6项的和
．

20. （本小题满分12分）

如图, 在平面直角坐标系
中, 已知椭圆
经过点

,椭圆的离心率
.

（1）求椭圆
的方程；

（2）过点
作两直线与椭圆
分别交于相异两点、.若
的平分线与轴平行, 试探究直线
的斜率是否为定值？若是, 请给予证明；若不是, 请说明理由.

21．（本小题满分12分）

如图，在平面直角坐标系
中，点
，

直线
。设圆
的半径为，圆心在
上。

（1）若圆心
也在直线
上，过点作圆
的切线，求切线的方程；

（2）若圆
上存在点
，使
，求圆心
的横坐标的取值范围。

22. （本小题满分12分）

如图，已知椭圆
：
的离心率为
，以椭圆
的左顶点为圆心作圆：
，设圆与椭圆
交于点
与点
．(12分)

（1）求椭圆
的方程；（3分）

（2）求
的最小值，并求此时圆的方程；（4分）

（3）设点是椭圆
上异于
,
的任意一点，且直线
分别与轴交于点
，
为坐标原点，求证：
为定值．（5分）

参考答案

1-5 DCCAD 6-10 BBDBB 11-12 DD

13.
14.1200 15. ①③ 16.

17.解：由题意知：两条直线的交点为（－1，2），

（1）因为过（－1，2），

所以与2x+3y+5=0平行的直线为

2x+3y－4＝0.

（2）设与2x+3y+5=0垂直的直线方程为3x-2y+b=0，

又过点（－1，2），代入得b=7,

故，直线方程为2x+3y+7=0

18.解：由命题，得
，

对于命题，因
，
恒成立，

所以
或
,即
.

由题意知p与q都为假命题，

的取值范围为

19．解：（I）在等比数列
中，由已知可得：

解得：
或

（II）
当
时，
．

当
时，

20.解：（1）由
，得
，故椭圆方程为
，

又椭圆过点
,则
，解之得
，

因此椭圆方程为

(2)设直线
的斜率为
，
，由题，直线MA与MB的斜率互为相反数，直线MB的斜率为
，联立直线MA与椭圆方程：
，

整理得
，由韦达定理，
，

，整理可得
，

又

所以
为定值.

21. 解：（1）由题设点
，又
也在直线
上，

，由题，过A点切线方程可设为
，

即
，则
，解得：
，

又当斜率不存在时，也与圆相切，∴所求切线为
或
，

即
或

（2）设点
，
，
，
，
，
，即
，又点
在圆
上，
，

点为
与
的交点，

若存在这样的点
，则
与
有交点，

即圆心之间的距离
满足：
，

即
，

解得：

22. （1）依题意，得
，
，∴
；

故椭圆
的方程为
．

（2）方法一：点
与点
关于轴对称，设
，
， 不妨设
．

由于点
在椭圆
上，所以
．

由已知
，则
，
，

所以

．

由于
，故当
时，
取得最小值为
．

由（*）式，
，故
，又点
在圆上，代入圆的方程得到
．

故圆的方程为：
．

(3) 设
，则直线
的方程为：
，

令
，得
， 同理：
，

故

又点
与点在椭圆上，故
，
，

代入（**）式，得：
．

所以
为定值．