数学（文）

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）。

1.函数
的定义域为（ ）

A．
B.

C.
D.

2. 若命题“
”为假，且“
”为假，则（ ）

A. “
”为假 B.假 C.真 D.不能判断的真假

3.抛物线
的准线方程为 （ ）

A.
B.
C.
D.

4．过点（2,1）的直线中，被圆
截得弦长最长的直线方程为（ ）

A.
B.

C.
D.

5．抛物线
的准线方程是（ ）

A．
B．
C．
D．

6．下列命题

①“若
，则
互为相反数”的逆命题；②“若
”的逆否命题；③“若
，则
”的否命题。其中真命题个数为（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

7．椭圆
上两点间最大距离是8，那么
（ ）

A．32 B．16 C．8 D．4

8．过抛物线
的焦点所作直线中，被抛物线截得弦长为8的直线有（ ）

A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 不确定

9．已知
是双曲线
的左、右焦点，直线
过
与左支交与
两点，直线
的倾斜角为，则
的值为（ ）

A. 28 B. 8
C. 20 D. 随大小而改变

10．设定点
,
,动点满足
，则点的轨迹是（ ）

A. 椭圆 B. 椭圆或线段 C. 线段 D. 无法判断

11．椭圆
，为上顶点，为左焦点，为右顶点，且右顶点到直线
的距离为
，则该椭圆的离心率为（ 　　）

A.
B.
C.
D.

12. 若直线
与双曲线
的右支交于不同的两点，那么
的取值范围是（ ）

A.（
） B.（
） C.（
） D.（
）

二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）。

13．命题“存在有理数，使
”的否定为 .

14.过点
且垂直于直线
的直线方程为 .

15.已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米。当水面升高1米后，水面宽度是________米.

16．设命题
，命题
，若“
”则实数的取值范围是 ．

三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．(本小题满分10分)

等轴双曲线过
点

（1）求双曲线的标准方程；

（2）求该双曲线的离心率和焦点坐标.

18. (本小题满分12分)

设命题:实数满足
,其中
；命题
数满足
．

（1）若
且
为真命题，求实数的取值范围；

（2）若
是的充分不必要条件,求实数的取值范围．

19. (本小题满分12分)

已知双曲线
，
为坐标原点，离心率
，

点
在双曲线上.

（1）求双曲线的方程；

（2）若直线
与双曲线交于
两点，且
.问：

是否为定值？若是请求出该定值，若不是请说明理由。

20. (本小题满分12分)

已知抛物线
：
的准线与轴交于
点，过
点斜率为
的直线

与抛物线
交于、两点(在
、之间)．

（1）为抛物线
的焦点，若
，求
的值；

（2）若
,求
的面积

21. (本小题满分12分)

如图,椭圆
经过点
离心率
,直线
的方程为
.

(1)求椭圆
的方程;

(2)
是经过右焦点的任一弦(不经过点),设直线
与直线
相交于点
,记
的斜率分别为
则存在常数
,使得
求
的值

22. (本小题满分12分)

各项均为正数的等比数列
满足
，

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
,数列
前项和
.在（Ⅰ）的条件下，证明不等式
;

（3）设各项均不为0的数列
中，所有满足
的整数的个数称为这个数列
的“积异号数”， 在（1）的条件下，令
，
，求数列
的“积异号数”



参考答案:

1-5 BBCAB 6-10 BBBCB 11-12 CD

13: 任意有理数，使
14:

15.
16:

17.解：（1）设双曲线方程为

将
代入①得

∴双曲线的标准方程为

（2）∵该双曲线是等轴双曲线，∴离心率

∵=3，
，焦点在轴上，∴焦点坐标为
，

18. 解:(1)由已知
，又
,所以
,

当
时，1<
,即为真时实数的取值范围是1<
.

由已知为真时实数的取值范围是
.

若
为真，则真且真，所以实数的取值范围是
.

(2)
是
的充分不必要条件，即,


,且


,

由命题的等价性可知：
是
的充分不必要条件

,且

设A=
,B=
,则
,……………8分

又A=
=
, B=
=
}，

则
，解得
所以实数的取值范围是
.

19. 解：（1）∵
，∴
，

双曲线方程为
，即

∵点
在双曲线上

∴

∴所求双曲线的方程为

（2）设直线OP方程为
，联立

得

则OQ方程为
，有

20.（1）(1)法一：由已知

设
，则
，

，

由
得，
，

解得

法二：记A点到准线距离为
，直线
的倾斜角为，

由抛物线的定义知
，

∴
，

∴

（2）方法一：

又

求根公式代入可解出

方法二：

21.（1）

（2）F
，

，而
，

同理

所以

而M（
）

故
＝2

22.解：（1）设等比数列
的公比为，由
得
，

解得
或
，∵数列
为正项数列，∴

∴首项
，∴

（2）由（1）得

∴

∴

（3）由（1）得
，∴

∴

∴

∵

∴数列
是递增数列；

由
得，当
时，

∴数列
的“积异号数”为1.