数学（理）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．每小题只有一个选项符合题目要求.）

1.设
，
，则“
”是“
”的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件

2．在下列函数中，最小值不是2的是（ ）

A．
B．
C．
D．

3．抛物线
的焦点坐标是 （ ）

A．
B．
C．
D．

4．过点（2,1）的直线中，被圆
截得弦长最长的直线方程为（ ）

A.
B.

C.
D.

5．已知
若是的一个充分不必要条件，则实数
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

6．椭圆
上两点间最大距离是8，那么
=（ ）

A．32 B．16 C．8 D．4

7．已知>0,
,直线=
和=
是
图像的两条相邻对称轴,则=（ ）

A． B． C． D．

8.设数列
的前n项和为
，令
，称
为数列
，
，……，
的“理想数”，已知数列
，
，……，
的“理想数”为2012，那么数列3，
，
，……，
的“理想数”为（ ）

A .2011 B. 2012 C. 2013 D .2014

9．若双曲线
的渐近线l方程为
，则双曲线焦点F到渐近线l的距离为( )

A．2 B．
C．2
D．

10．设定点
,
,动点满足
，则点的轨迹是（ ）

A.椭圆 B.椭圆或线段

C.线段 D.无法判断

11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为（ ）

A. B.

C.或 D.或

12.试在抛物线
上求一点P，使其到焦点F的距离与到
的距离之

和最小，则该点坐标为 （ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）。

13．命题“存在有理数，使
”的否定为 .

14.已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米。当水面升高1米后，水面宽度是________米.

15．设命题
，命题
，若“
”则实数的取值范围是 ．

16．椭圆
的焦点分别是F1和F2，过原点O作直线与椭圆相交于A，B两点.

若
的面积是20，则直线AB的方程是_______________________.

三、解答题（本题共6小题，共70分.解答时要写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）

等差数列
中，
，前项和为
，等比数列
各项均为正数，
，且
，
的公比

（1）求数列
与
的通项公式；

（2）求数列
的前项和

18．（本小题满分12分）

：
使得
成立；：方程
有两个不相等正实根；

写出
；

若命题
为真命题，求实数的取值范围；

( 3 ) 若命题“或”为真命题，且“且”为假命题，求实数的取值范围.

19．（本小题满分12分）

已知圆
，直线
：
，
。

（1）若直线
过圆
的圆心，求
的值；(5分)

（2）若直线
与圆
交于
两点，且
,求直线
的倾斜角. （7分）

20．（本小题满分12分）

点

为抛物线
上一点，为其焦点，已知
，

（1）求
与的值；（4分）

（2）以
点为切点作抛物线的切线，交轴与点
，求
的面积。（8分）

21. （本小题满分12分）

已知双曲线过点
，它的渐近线方程为

（1）求双曲线的标准方程；（5分）

（2）设F1和F2是该双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且
，求
的余弦值.（7分）

22．（本小题满分12分）

如图，已知椭圆
（a＞b＞0）的离心率
，过点

A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为
．

（1）求椭圆的方程．

（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由．



参考答案：

1-5 ACDAB 6-10 BAADB 11-12 DA

13. 任意有理数，使
14:

15.
16:

17.（1）设
公差为d，由已知可得

又

（2）由（1）知数列
中，
，

18.（1）
：

成立.

（2）
时
不恒成立.

由
得
.

（3）设方程
两个不相等正实根为
、

命题为真

由命题“或q”为真，且“且q”为假，得命题、q一真一假

①当真假时，则
得

②当假真时，则
无解；

∴实数的取值范围是

.

19.解：（1）圆心
，由
在直线上，代入直线方程解得：

（2）设
为圆心到直线的距离，则
，

由
解得：
，

而该直线的斜率为，所以倾斜角
的正切值
，

所以
或

20.解：（1）由抛物线定义知：
，所以：

所以：抛物线的方程为：
，又由
在抛物线上，

故：
，

（2）设过M点的切线方程为：
，代入抛物线方程消去得：

，其判别式
，所以：

切线方程为：

切线与y轴的交点为
抛物线的焦点

所以：

21.解：（1）设所求双曲线的方程为：
，由于
在该双曲线上，

代入方程解得
， 所以所求双曲线方程为：

（2）由双曲线定义：
，在
中，由余弦定理：

22．解：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0．

依题意
　

解得　

∴　椭圆方程为
．

（2）假若存在这样的k值，由

得

．

　　∴　
　　　　①

　　设
，
、
，
，则
　　　　　②

　而
．

要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则
，即
∴
　③--10分

　　将②式代入③整理解得
．经验证，
，使①成立．

综上可知，存在
，使得以CD为直径的圆过点E．