（时间：120分钟 满分：150分）

欢迎你参加这次测试，祝你取得好成绩！

一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分）

1. 设函数
，则
（ ）

A. B. C.
D.

2. 设向量
，
，若
⊥
，则
（ ）

A.
B.
C. D.

3. 对于常数
，“
”是“方程
的图像为椭圆”的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 椭圆
（
）的一个顶点到两个焦点的距离分别是8和2，则该椭圆的方程是（ ）

A.
B.

C.
D.
或

5. 直线
的方向向量
，平面的法向量
，则有（ ）

A.
∥ B.
⊥ C.
与斜交 D.
或
∥

6. 双曲线
的焦点到渐近线的距离是（ ）

A.
B.
C. 2 D.

7.是双曲线
：
上的一个点，
是
的两个焦点，若
，则
（ ）

A. 9或1 B. 7或3 C. 9 D. 7

8. 空间中有四点
，
，
，
，则两直线
的夹角是（ ）

A.
B.
C.
D.

9. 设是圆
:
上一个动点，
是原点，若点
满足
，则点
的轨迹方程是（ ）

A.
B.

C.
D.

10. 已知函数
的图象是下列四个图象之一，其导函数
的图象如右图所示，则 该函数的图象是（ ）

11. 抛物线
：
的焦点是，是抛物线
上的一个动点，定点
，当
取最小值时，点的坐标是（ ）

A.
B.
C.
D.

12. 点在曲线
上移动，设曲线在点处切线的倾斜角是，则的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题（共4个小题，每道题5分 ，共20分）

13. 已知
，则
.

14. 已知是椭圆
的一个焦点，是短轴的一个端点，线段
的延长线交
于，且
，则椭圆
的离心率是 .

15. 给出下列命题：

①若向量
，
共线，则
三点共线；

②若空间中三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面；

③若存在实数
使
，则
四点共面；

④“向量
，
共线”是“存在实数
使
”的充要条件；

其中真命题序号是 .

16. 抛物线
焦点为，过作弦
，
是坐标原点，若三角形
面积是
，则弦
的中点坐标是 .

三、解答题（本大题共6个小题，共70分）

17.（本小题10分）

（1）求函数
在
处的切线的方程；

（2）求函数
的单调减区间.

18.（本小题12分）

已知
是椭圆
的两焦点，过
作倾斜角为
的弦
.

（1）求弦长
；

（2）求三角形
的面积.

19. （本小题12分）

在棱长为1的正方体
中，是线段
上一点.

（1）求证：
∥平面
；

（2）求点到平面
的距离.

20. （本小题12分）

设函数
的极值点是
和
.

（1）求
的值；

（2）求
在
上的最大值.

21. （本小题12分）

如图，四边形
为正方形，
⊥平面
，
∥
，
.

（1）证明：平面
⊥平面
；

（2）求二面角
的余弦值.

22. （本小题12分）

在平面直角坐标系
中，已知双曲线
：
．

（1）设是
的左焦点，
是
的右支上一点，若
，求点
的坐标；

（2）设斜率为
的直线
交
于
两点，若
与圆
相切，

求证：
⊥
.

2013-2014学年度第一学期高中水平测试（一）

高二年级数学科试题（理）答案

选择题

解答题

17.解：

（1）
故切点是

斜率

切线方程：

（2）
.

令
，则

所以减区间是：
（或
）.

18.解：

设
，

，
，

直线
：

由题意
坐标是
的解

所以
，

（1）

（2）
到直线
的距离

19.解：

建立如图直角坐标系（图 略）

则
，
，
，
，

，

故

又
平面

所以

平面

又

解方程组的

所以

（2）设直线
且
，

由
与圆相切知：
，即：

将
带入
得：

由
得

=

所以