沈阳二中2013-2014学年度上学期期中考试

高二（15届）数学试题

说明：1、测试时间：120分钟 总分：150分；

2、客观题涂在答题卡上，主观题答在答题纸的对应位置上。

第Ⅰ卷

一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分。每题只有一个正确答案，将正确答案的序号涂在答题卡上.）

1．若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的(　 　)

A．充分而不必要条件　　 B.必要而不充分条件

C．充要条件 D.既不充分又不必要条件

2．有四个关于三角函数的命题：

p1：?x∈R，sin2＋cos2＝ p2：
?x、y∈R，sin(x－y)＝sinx－siny

p3：?x∈[0，π]，＝sinx p4：sinx＝cosy?x＋y＝

其中假命题的是(　 　)

A．p p3，p4 B.p2，p4

C．p1，p3 D. p1，p4

3.下图是求样本x1,x2,…,x10平均数
的程序框图,图中

空白框中应填入的内容为( )

A.S=S+xn B.S=S+

C.S=S+n D.S=S+

4.为了调查某产品的销售情况，销售部门从下属的92家

销 售连锁店中抽取30家了解情况．若用系统抽样法，

则抽 样间隔和随机剔除的个体数分别为(　 　)

A．2 ,3 B．3,2 C．2,30 D．30,2

5.甲乙两班举行电脑汉字录入比赛，参加学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下

表：

班级

参加人数

中位数

方差

平均数



甲

55

149

191

135



乙

55

151

110

135



某同学根据上表分析得出如下结论
：

①甲乙两班学生成绩的平均水平相同；

②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数≥150个为优秀)；

③甲班的成绩波动情况比乙班的成绩波动大．

其中正确结论的序号是(　 　)

A．①②③ B．①② C．①③ D．②③

6．点F1、F2是两个定点，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a(a为非负常数)，则动点P的轨迹(　　)

A．是线段 B．是椭圆 C．不存在 D．前三种情况都有可能

7．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(2，－1)，B(－1,3)，若点C满足

＝α＋β，其中0≤α，β≤1，且α＋β＝1，则点C的轨迹方程为(　 　)

A．2x＋3y－4＝0 B．(x－)2＋(y－1)2＝25

C．4x＋3y－5＝0(－1≤x≤2) D．3x－y＋8＝0(－1≤x≤2)

8．焦点在y轴上的
椭圆mx2＋y2＝1的离心率为，则m的值为(　 　)

A.　　　 　 B．2　 　　　C.　 　　 　D．4

9. “点
在曲线
上”是“点
的坐标满足方程
”的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

10．从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是

[3b2，4b2]，则这一椭圆离心率e的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

11．椭圆：

，左右焦点分别是
，焦距为
，若直线

与椭圆交于
点，满足
，则离心率是（ ）

A．
B．
C．
D．

12．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c，其中0≤b≤4,0≤c≤4，记函数f(x)满足条件的事

件为A，则事件A发生的概率为(　 　)

A.　　　 　B.　　 　 　C.　　 　　D.

第Ⅱ卷

二.
填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.

13．用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160

编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组抽

出的号码为126，则第1组中用抽签方法确定的号码是________．

14．已知两个命题r(x)：sinx＋cosx>m，s(x)：x2＋mx＋1>0.如果对?x∈R，r(x)与s(x)有且

仅有一个是真命题．求实数m的取值范围___________．

15．已知F1、F2是椭圆C：＋＝1　(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥.

若△PF1F2的面积为9，则b＝__
______.

16.已知对
，直线
与椭圆
恒有公共点，则实数
的取值范围是_______________.

三、 解答题：（本大题共6小题
，
满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17．(本题满分10分)

已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2
＋y2＝4上运动，求线段AB

的中点M的轨迹．

18．(本题满分12分)[来源:Zxxk.Com]

设命题p：f(x)＝在区间(1，＋∞)上是减函数；命题q：x1，x2是方程x2－ax－2＝0

的两个实根，不等式m2＋5m－3≥|x1－x2|对任意实数a∈[－1,1]恒
成立；若?p∧q为真，

试求实数m的取值范围．

甲班　



　乙班



2

18

1



9　9　1　0

17

0　3　6　8　9



8　8　3　2

16

2　5　8



8

15

9





19．(本题满分12分)

随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测

量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据

的茎叶图如图．

(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；

(2)计算甲班的样本方差；

(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm

的同学被抽中的概率．

20．(本题满分12分)

椭圆与直线
交于
两点，点
是线段

的中点，且
，直线

的斜率为
，求椭圆的标准方程。

21．(本题满分12分)

设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0

A，B 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．

(1)求|AB|；

(2)若直线l的斜率为1，求b的值．

22．(本题满分12分)

已知直线
经过椭圆
的左顶点A和上顶点D，椭

圆
的右顶点为
，点
是椭圆
上位于
轴上方的动点，直线
与直线

分别交于
两点。

（I）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）求线段MN的长度的最小值；

（Ⅲ）当线段MN的长度最小时，在椭圆
上是否

存在这样的点
，使得
的面积为
？若

存在，确定点
的个数，若不存在，说明理由.[来源:Z|xx|k.Com]

[来源:学科网ZXXK]

沈阳二中2013-2014学年度上学期期中考试

高二（15届）数学试题答案

一.选择题: ADABA DCCBA BC

二.填空题: 13. 6 14. {m|m≤－2或－≤m<2}． 15. 3 16.

17.【解析】　设点M的坐标是
(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，……………...2

由于点B的坐标是(4,3)，且M是线段AB的中点，

所以x＝，y＝，

于是有x0＝2x－4，y0＝2y－3.①……………………………………………6

因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，

所以坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4，

即(x0＋1)2＋y02＝4.②

把①代入②，得(2x－4＋1)2＋(2y－3)2＝4，

整理，得(x－)2＋(y－)2＝1………………………………………………….9[来源:学科网]

所以，点M的轨迹是以(，)为圆心，半径长是1的圆．………………..10

18.【解析】　命题p：m≤1. ……………………………………………………..3

命题q：|x1－x2|＝＝≤3，……………………6

∴m2＋5m－3≥3，∴m2＋5m－6≥0，∴m≥1或m≤－6. …………………9

若?p∧q为真，则p假q真，∴?m>1…………………..12

19.【解析】　(1)乙班的平均身高较高．

可由茎叶图判断或计算得出平均身高 ………………………………………………3

(2)因为甲班的平均身高为＝i＝170(cm)，

所以甲班的样本方差s2＝(xi－)2＝[2×122＋2×92＋2×22＋12＋72＋82＋02]＝

57.2(cm2)．…………………………………………………………………………..7

(3)从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，共有10种不同的取法：

(173,176)，(173,178)，(173,179)，(173,181)，(176,178)，(176,179)，(176,181)，(178,179)，(178,181)，(179,181)．…………………………………………………………………..9

设A表示随机事件“抽到身高为176cm的同学”，则A中的基本事件有四个：

(173,176)，(176,178)，(176,179)，(176,181)

故所求概率为P(A)＝＝………………………………………………………….12

20.解：设椭圆的方程是：
[来源:Zxxk.Com]

得：
…………………………………………2分

即：
……………①…………………………………………5分

………………………………②………………………………9分

联立①②得:

所以所求椭圆标准方程为:
………………………………………………………………12分

21.【解析】　(1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，

又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝………………………………………….5

(2)l的方程为y＝x＋c，其中c＝.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组

化简得(1＋b2)x2＋2cx
＋1－2b2＝0

则x1＋x2＝，x1x2＝...................................
...............................8

因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝|x2－x1|，

即＝|x2－x1|.

则＝(x1＋x2)2－4x1x2

＝－＝，……………………………………….10

解得b＝……………………………………………………………………12

22.解：（I）由已知得，椭圆
的左顶点为
上顶点为

故椭圆
的方程为
.........................................3

（Ⅱ）直线AS的斜率
显然存在，且
，故可设直线
的方程为
，从而

, 由
得
0

设
则
得
，从而

即
......................................5

又

由
得

故

又

当且仅当
，即
时等号成立

时，线段
的长度取最小值
..................................8

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当
取最小值时，

此时
的方程为

要使椭圆
上存在点
，使得
的面积等于
，只须
到直线
的距离等于
，所以
在平行于
且与
距离等于
的直线
上。

设直线

则由
解得
或
(舍)

直线
与椭圆教于两点,所以有两个T点。....................12