命题：李晓峰、吴旻玲 审稿：陈云彪

满分[100]分 ，时间［120］分钟

一、选择题（本大题共有12个小题，每小题只有一个正确答案，每题3分，共36分）

1．下列几何体中是旋转体的是（ ▲ ）

①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体.

A． ①和⑤ B． ① C． ③和④ D． ①和④

2. 不等式
的解集是（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

3．设a、b是两条不同的直线，
是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ▲ ）

A．若
B． 若

C．若
D． 若

4．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（ ▲ ）

5．在下列各函数中，最小值等于2的函数是（ ▲ ）

A．y＝x＋ B．y＝cos x＋(0

6．已知
为非零实数，且
，则下列不等式中恒成立的序号是（ ▲ ）

①
；②
；③
；④
；⑤

A．①⑤ B．②④ C．③④ D．③⑤

7．如图，三棱柱
中，侧棱
底面
，底面三角形
是正三角形，
是
中点，则下列叙述正确的是（ ▲ ）

A．
与
是异面直线 B．
平面

C．
与
为异面直线，且
D．
平面

8．已知
则不等式
的解集是（ ▲ ）

A．
B．

C．
D．

9．在正方体
中，直线
与平面
所成的角的余弦值等于（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知关于
的不等式
在
上恒成立，则实数
的最小值为（ ▲ ）

A．
B．1 C．
D．

11．如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0

A．
　 　　 B．
C．
　　　 D．

12．已知四棱柱
中，侧棱
,
，底面四边形
的边长均大于2，且
，点
在底面
内运动且在
上的射影分别为
，
，若
，则三棱锥
体积的最大值为（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共有6个小题，每题3分，共18分）

13．一个水平放置的平面图形，其斜二测直观图是一个等腰梯形，其底角为
，腰和上底均为1（如图），则平面图形的实际面积为 ▲ ．

14．若关于
的不等式
的解集为
，其中
，
为常数，则
▲ .

15．如图，边长为a的正△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，现给出下列命题，其中正确的命题有 ▲ ．(填上所有正确命题的序号)

(1)动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；

(2)三棱锥A′—FED的体积有最大值；

(3)恒有平面A′GF⊥平面BCED；

(4)异面直线A′E与BD不可能互相垂直．

16．如图，已知球O的球面上四点A，B，C，D，DA
平面ABC，AB
BC，DA=AB=BC=
,则球O的体积等于 ▲ .

17．若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有 ▲ 对．

18. 设
，且
，且
恒成立，则实数
取值范围是

▲ .

三、解答题（本大题共有6个小题，共46分）

19．某几何体的三视图如图所示，求它的体积与表面积.

20．以贯彻“节能减排，绿色生态”为目的，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本
（元）与月处理量
（吨）之间的函数关系可近似的表示为：
，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．

（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？

21．如图，在四棱锥
中，底面ABCD是菱形，
，

平面
,点
是
的中点,
是
的中点．

（1）求证：
∥平面
；

（2）求直线BE与平面PAD所成角的正弦值．

22．解关于
的不等式
．

23．已知四边形
，
，
，
，将四边形沿
折起，使
，如图所示．

（1）求证：
；

（2）求二面角
的余弦值的大小．

24．已知函数：
,
．

（1）若存在
，使
，求
的取值范围；

（2）若对任意的
,
，求
的取值范围．

2013学年第一学期期中考试高二数学（参考答案）

一、选择题

二、填空题

13.
14. －14 15. （1）（2）（3）

16.
17. 24 18.

三、解答题

21． (Ⅰ) 取
中点为
，连

∵
是
的中点 ∴
是
的中位线,∴

∵
是
中点且
是菱形，


，∴


. ∴

∴ 四边形
是平行四边形. 从而
,

∵

平面
,

平面
,

∴
∥平面

（Ⅱ）由(Ⅰ) 得
，∴直线
与平面
所成角就是直线
与平面
所成角。

过
做
,垂足为
，连

∵
平面
∴面
平面

又∵面
平面
=
，
∴

∴
是直线
与平面
所成的线面角

又底面
是菱形，
，
，
是
的中点∴
,

又∵
,
∴
∴
，
．

∴直线
与平面
所成的线面角的正弦值为
．

23．（1）取BD的中O点，连CO，
，

∵
，
，∴
，

∴
， ∴

（2）∵
，

∴
，
是正三角形，
，

，

∴
，
，

即

取
、
的中点
、
，连
，

则
∥
，且
=

因为
，
，所以
即二面角
的平面角

，
，