2013-2014学年第一
学期高二期中考试数学试题

考试时间：120分钟 总分：160分

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分

1．直线
的倾斜角是 ▲ ．

2．过点(0，1)，且与直线2x＋y－3＝0平行的直线方程是______▲______ ．

3．已知直线
,
互相垂直，则实数
的值是▲

4．已知空间点
,且
,则点A到的平面yoz的距离是 ▲ ．

5．圆
:
+
=1,圆
与圆
关于直线
对称,则圆
的标准方程为_____▲_____ ．

6．已知a、b是不同的直线，
、
、
是不同的平面，给出下列命题：

①若
∥
，a

，则a∥
②若a、b与
所成角相等，则a∥b

③若
⊥
、
⊥
，则
∥
④若a⊥
, a⊥
，则
∥

其中正确的命题的序号
是_______▲_________ ．

7． 直线
与圆
恒有交点，则实数a的取值范围是 ▲ ．

8．如图，在三棱锥
中，
底面
，
，
，则
与底面
所成角的正
切值为 ▲ ．

9．已知
满足
，则
的取值范围是 ▲ ．

10．空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球的表面积是 ▲ ．

11．设圆
上有且仅有两个点到直线
的距离等于1，则圆半径r的取值范围_____▲_______ ．

12．圆
和圆
相内切，若
，且
，则
的最小值为 _▲________ ．

13．如图，一个圆锥形容器的高为
，内装有一定量的水.

如果将容器
倒置，这时所形成的圆锥的高恰为
（如图2-②），

则图2-①中的水面高度为 ▲ .

14．直线
与圆
相交于A、B两点，若
，则实数t的范围 ▲ [来源:Z*xx*k.Com]

二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15．已知直线经过点
，求分别满足下列条件的直线方程：

（1）倾斜角的正弦为
；

（2）与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为4.[来源:学&科&网]

[来源:学科网ZXXK]

16．已知圆
及直线
. 当直线
被圆
截得的弦长为
时， 求（1）
的值； （2）求过点
并与圆
相切的切线方程.

17．如图，在四面体
中，
，
，点
，
分别是
，
的中点．

(1) EF∥平面ACD

(2)求证：平面
⊥平面
；

(3)若平面
⊥平面
，且
，求三棱锥
的体积．

18．（本题为选做题，文科生做第1道，理科生做第2道）

1．已知半径为5的圆的圆心在
轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线
相切．　　　

（1）求圆的标准方程；

（2）设直线

与圆相交于
两点，求实数
的取值范围；

（3） 在（2）的条件下，
是否存在实数
，使得弦
的垂直平分线
过点
，

2．已知⊙
：
和定点
，由⊙
外一点
向⊙
引切线
，切点为
，且满足
．

(1) 求实数
间满足的等量关系；

(2) 求线段
长的最小值；

(3) 若以
为圆心所作的⊙
与⊙
有公共点，试求半径取最小值时的⊙
方程．

19．如图，直三棱柱
中，
、
分别是棱
、
的中点，点
在棱
上，已知
，
，
．（1）求证：
平面
；

（2）设点
在棱
上，当
为何值时，平面
平面
？

20．如图，已知圆O的直径AB=4，定直线L到圆心的距离为4，且直线L⊥直线AB。点P是圆O上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交L与M、N点。

试建立适当的直角坐标系，解决下列问题：

（1）若∠PAB=30°，求以MN为直径的圆方程；

（2）当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点。

2013-2014学年第一学期高二期中考试数学试题参考答案

1．

2．

3．

4．2或6

5．
+
=1

6．
①④

7．

8．

9．

10．

11．

12．

13．

14．

15．解：（1）设直线的倾斜角为
，
，由
，

当
时，由点斜式方程得：

当
时，由点斜式方程得：

综上：直线方程为
或
…………………………………7分[来源:学科网ZXXK]

（2）设直线在
轴上的截距为
，可设直线方程为

由题意得
得
，
，即：
……14分

16．解：（1）依题意可得圆心
，

则圆心到直线
的距离
.………2分

由勾股定理可知
，………4分

代入化简得
．

解得
，又
，所以
．………………6分

（2）由（1）知圆
， 又
在圆外，

①当切线方程的斜率存在时，设方程为
．

由圆心到切线的距离
可解得

切线方程为
．……9
分

②当过
斜率不存在，易知直线
与圆相切．………10分

综合①②可知切线方程为
或
．………………14分

17．证明：（1）∵EF是△BAD的中位线

所以EF∥AD（2分）

又EF?平面ACD，AD?平面ACD

∴EF∥平面ACD……………………（5分）

（2）∵EF∥AD，AD⊥BD

∴BD⊥EF，

又∵BD⊥CF∴BD⊥面CEF，

又BD?面BDC

∴面EFC⊥面B
CD……………………（10分）

（3）因为面ABD⊥面BCD，且AD⊥BD

所以AD⊥面BCD

由BD=BC=1和CB=CD得△BCD是正三角形

所以

…………15分

18．1．解（1）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．

由于圆与直线4x+3y-29=0相切，且半径为5，

所以|4m?29| 5 ＝5，即|4m-29|=
25．

即4m-29=25或4m-29=-25，

解得m=27 2 或m=1，

因为m为整数，故m=1，

故所求的圆的方程是（x-1）2+y2=25；……………………（5分）

2) 此时，圆心C(1, 0)与该直线的距离

即：
……………………（10分）

（2）设符合条件的实数a存在，

∵a≠0，则直线l的斜率为
，l的方程为
，即
．

由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必
在l上．

所以1+0+2-4a=0，解得
．

经检验
，直线ax-y+5=0与圆有两个交点，……………………（14分）

故存在实数
，使得过点P（-2，4）的直线l垂直平分弦AB……………………（15分）

2．（1）连

为切点，
，由勾股定理有

又由已知
，故
.即：
.

化简得实数a、b间满足的等量关系为：
. ……………………（5分

（2）由

，得
.

=
.

故当
时，
即线段PQ长的最小值为
……………………（10分

（3）设圆P 的半径为
，
圆P与圆O有公共点，圆O的半径为1，

即
且
.

而
，

故当
时，
此时,
，
.

得半径取最小值时圆P的方程为
． ……………………15分 解法2：圆P与圆O有公共点，圆 P半径最小时为与圆O外切（取小者）的情形，而这些半径的最小值为圆心O到直线l的距离减去1，圆心P为过原点与
l垂直的直线l’ 与l的交点P0.

r = －1 = －1.

又 l’：x－2y = 0,

解方程组
，得
.即P0( ,).

∴所求圆方程为
. ……………………15分

19．解：（1）连接
交
于
，连接
．

因为CE，AD为△ABC中线，

所以O为△ABC的重心，
．

从而OF//C1E．………………………………………………4分

OF
面ADF，
平面
，

所以
平面
．…………………………………………7分

（2）当BM=1时，平面
平面
．

在直三棱柱
中，

由于
平面ABC，BB1
平面B1BCC1，所以平面B1BCC1
平面A
BC．

由于AB=AC，
是
中点，所以
．又平面B1BCC1∩平面ABC=BC，

所以AD
平面B1BCC1．[来源:学。科。网]

而CM
平面B1BCC1，于是AD
CM．…………………10分

因为BM =CD=1，BC= CF=2，所以
≌
，所以CM
DF． …12分

DF与AD相交，所以CM
平面
．

CM
平面CAM，所以平面
平面
．
………………………15分

当BM=1时，平面
平面
．…………………………………16分

20．建立如图所示的直角坐标系，⊙O的方程为
，直线L的方程为
。

（1）∵∠PAB=30°，∴点P的坐标为
，∴
，
。将x=4代入，得
。∴MN的中点坐标为（4，0），MN=
。∴以MN为直径的圆的方程为
。

同理，当点P在x轴下方时，所求圆的方程仍是
。………………6分

（2）设点P的坐标为
，∴
（
），∴
。

∵
，将x=4代入，得
，

。∴
，MN=
。MN的中点坐标为
。

以MN为直径的圆
截x轴的线段长度为

为定值。∴⊙
必过⊙O 内定点
。

…………16分