高二期中考试数学试题

（
考试时间：120分钟；满分：150分）

第I卷（选择题，共60分）

选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）

1．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cos B＝ (　　)．

A． B.  C.  D.  [来源:学科网ZXXK]

2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：



按照上面的规律，第
个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（ ）

A．
 B．
 C．
 D.
．[来源:学.科.网]

3. 下列函数中，最小值为2的是(　　)．

A. y =
，x∈R，且 x≠0 B. y = lgx +
，1＜x＜10

C. y = 3x + 3-x，x∈R D. y = sin x +
，

4．在△ABC中，BC＝2，B
＝，当△ABC的面积等于时，sin C＝ (　　)．

A.  B.  C.  D. 

5. 若 x，y ∈R，且 x + y = 5，
则 3x + 3y 的最小值是(　 　)．

A. 10 B.
C.
D.
[来源:学科网]

6．若数列
的前n项的和
，那么这个数列的通项公式为（ ）

A.
 B.


C.
 D.


7．等差数列{an}满足a42＋
a72＋2a4a7＝9，则其前10项之和为 (　 )．

A．－9 B．－15 C．15 D．±15

8．若
，则不等式
的解集为 （ ）

A．
B．
C.
D．
[来源:学科网ZXXK]

9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，
c,若
，则△ABC的形状是（ ）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

10．已知等比数列
的首项
公比
，则
( )

A. 55 B. 35 C. 50 D. 46

11．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a，b，c成等比数列，A=600，则
=（ ）

A．
B．
C．
D．

12．若集合A=
，则实 数a的取值集合为 （ ）

A.

B.

C.
D.

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）

13．设变量
，
满足
则变量
的最小值为　 .

14．设数列
中，
，则通项
 _ ．

15．在钝角
中，

分别为角
的对边，
,则
的面积等于___________．

16．若正实数
满足
，则
的最小值是__ .

三、解答题（共70分，请将答案写在规定区域内，写出详细的解题过程和必要的文字说明）

17. (10分) 风景秀美的凤凰湖畔有四棵高大的银杏树，记做A、B、P、Q，欲测量P、Q两棵树和A、P两棵树之间的距离，但湖岸部分地方围有铁丝网不能靠近，现在可以方便的测得A、B两点间的距离为
米，如图，同时也能测量出
，
，
，
，则P、Q两棵树和A、P
两棵树之间的距离各为多少？

18．（12分） 已知
的三个内角
所对的边分别为
,
是锐角,且
．

（Ⅰ）求
的度数；

（Ⅱ）若
，
的面积为
，求
的值．

19.（12分）已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)．

(1)证明：数列{an＋1－an}是等比数列；

(2)求数列{an}的通项公式．

20.（12分）已知点(1,2)是函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象上一点，数列{an}的前n项和Sn＝f(n)－1.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝logaan＋1，求数列{anbn}的前n项和Tn.

21 .（12分）某工厂拟建一座平面图形为矩形，且面积为 200 m2 的三级污水处理池（平面图如右）. 如果池外圈周壁建造单价为每米 400 元，中间两条隔墙建筑单价为每米 248 元，池底建造单价为每平方米 80 元，池壁的厚度忽略不计. 试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价．

22.(12分)已知函数f(x)＝x2－2x－8，g(x)＝2x2－4x－16，

(1)求不等式g(x)<0的解集；

(2)若对一切x>2，均有f(x)≥(m＋2)x－m－15成立，求实数m的取值范围．

高二期中考试数学参考答案

1.C；2．D；3.C； 4．A；5．B；6．D；

7.D；8．C；9.D；10．A；11．A；12．B [来源:学+科+网Z+X+X+K]

13．
14.
15．
16．5

17.（10分） 解：（1)
中，

由正弦定理：
?
????????
(2)
中，
,∴

由余弦定理：
?
∴
.????????

答：P、Q两棵树之间的距离为
米，A、P两棵树之间的距离为
米。?

18.（12分）　（Ⅰ）∵
，∴由正弦定理知：
,∵
是三角形内角， ∴
,从而有
，

∴
=
或
.∵
是锐角，∴
的度数=
．（Ⅱ）∵
∴
，
．

19. （12分）(1)证明　∵an＋2＝3an＋1－2an，

∴an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)， ∴＝2.

∵a1＝1，a2＝3， ∴{an＋1－an}是以a2－a1＝2为首项，2为公比的等比数列．

(2)解　由(1)得an＋1－a
n＝2n，

∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝2n－1.

故数列{an}的通项公式为an＝2n－1.

20. （12分）解：　(1)把点(1,2)代入函数f(x)＝ax得a＝2，

所以数列{an}的前n项和为Sn＝f(n)－1＝2n－1.

当n＝1时，a1＝S1＝1；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1，

对n＝1时也适合，∴an＝2n－1.

(2)由a＝2，bn＝logaan＋1得bn＝n，

所以anbn＝n·2n－1.

Tn＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，①

2Tn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n.②

由①－②得：

－Tn＝20＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n，

所以Tn＝(n－1)2n＋1.

21. （12分） 解：设污水池总造价为 y 元，污水池长为 x m. 则宽为
m，水池外圈周壁长为2x + 2 ·
（m），中间隔墙长2 ·
（m），池底面积200（m2）．

∴ y = 400
+ 248 ·
· 2 + 80×2
00 = 800
+ 16 000

≥1 600
+ 16
000 = 44 800．

当且仅当 x =
，即 x = 18，
=
时，ymin = 44 80
0．

答：当污水池长为 18 m，宽为
m 时，总造价最低，最低为 44 800元．

22. （12分）解： (1)g(x)＝2x2－4x－16<0， ∴(2x＋4)(x－4)<0，∴－2

∴不等式g(x)<0的解集为{x|－2

(2)∵f(x)＝x2－2x－8. 当x>2时，f(x)≥(m＋2)x－m－15恒成立，

∴x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15， 即x2－4x＋7≥m(x－1)．

∴对一切x>2，均有不等式≥m成立．

而＝(x－1)＋－2≥2－2＝2(当x＝3时等号成立)．

∴实数m的取值范围是(－∞，2]。