成都市实验外国语 2013-2014学年上期半期考试

高二年级数学试卷 (理) 共1张4页

时间：120分钟 满分：150分

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

1．直线
在
轴上的截距为
，在
轴上的截距为
，则（ B ）

A
B
C
D

已知A、B、C三点不共线，点O为平面ABC外的一点，则下列条件中，能得到
的条件是（ B ）

A.
； B.
；

C.
； D.
；

3．在等差数列
中，
，那么
的值为（ D ）

4．如图，正方形
的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是(　A)

A．8 cm B．6 cm

C．2(1＋
) cm D．2(1＋2
) cm

5. 已知圆
在曲线
的内部，则半径
的范围是（ B ）

A．0<
<
B．0<
<2
C．0<
<2 D．0<
<4

6．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是周长为4，一个内角为60°的菱形，俯视图是圆及一点，那么这个几何体的表面积为(　 B )

A.
B．
C.
D．

7．关于不同的直线
、
与不同的平面
、
，有下列四个命题

①
∥
，
∥
且
∥
，则
∥
；②


，


且


，则


；

③


，
∥
且
∥
，则


；④
∥
，


且


，则
∥
．

其中真命题的序号是
( D )

A.①② B.③④ C.①④ D.②③

8. 已知直线
与
,给出如下结论：

①不论
为何值时,
与
都互相垂直;

②当
变化时,
与
分别经过定点A(0,1)和B(-1,0);

③不论
为何值时,
与
都关于直线
对
称;

④当
变化时,
与
的交点轨迹是以AB为直径的圆(除去原点).

其中正确的结
论有（ C ）.

A．①③ B．①③④ Ｃ．①②④ Ｄ．①②③④

9．如图，正方体
的棱长为1，线段
上有两个动点E.F,且
,则下列结论中错误的是（ D ）

A．
B．
∥平面

C．三棱锥
的体积为定值 D．△AEF与△BEF 的面积相等

10.已知正方形
的边长为
，将
沿对角线
折起，使平面
平面
，得到如图所示的三棱锥
．若
为
边的中点，
，
分别为线段
，
上的动点（不包括端点），且
.设
，则三棱锥
的体积
的函数图象大致是（ A ）

A B． C． D．

二、填空题（每小题5分，共25分）

11,，圆心在原点，且与直线
相切的圆的方程是
.

12．已知边长为2的正三角形
在平面
内，
，且
，则点
到直线
的距离为 2 ．

13.过直线
上一点
作圆
的切线
，若
关于直线
对称，则点
到圆心
的距离为
.

14．若直线y=x+b 与曲线
恰有一个公共点，则b的取值范围为_
.

15如图，将
，边长为1的菱形ABCD沿对角线AC折成大小等于
的二面角B－AC－D，若
，M、N分别为AC、BD的中点，则下面的四种说法：

①AC⊥MN； ②DM与平面ABC所成的角是
；

③线段MN的最大值是，最小值是； ④当
＝时，BC与AD所成的角等于 ,其中正确的说法有　(1)(3)　　　 (填上所有正确说法的序号).

解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤

（本小题满分12分）

(Ⅰ) 因为角A、B、C成等差数列，所以B
.

由正弦定理可得
，

所以
.

(Ⅱ) 因为
，所以
为锐角，故
.则有

.

所以
=
▲

（本小题满分12分）

已知圆
，直线

（1）求证：对
，直线
与圆C总有两个不同的交点；

（2）设直线
与圆C交于A、B两点，若
，求
的值。 解：（1）直线
过定点
在圆C内 …………………………4分

直线
与圆C总有两个不同的交点

（2）圆半径
，

圆心（0，1）到
的距离

………………2分

▲

18、（本小题满分12分）

如图，直角△BCD所在的平面垂直于正△ABC所在的平面，PA⊥平面ABC，
,
为DB的中点，

（I）证明：AE⊥BC；

（II）线段BC上是否存在一点F使得PF与面DBC

所成的角为
，若存在，试确定点F的位置，

若不存在，说明理由.

证明：（I）取BC的中点O，连接EO,AO,

EO//DC所以EO⊥BC

因为
为等边三角形，所以BC⊥AO

所以BC⊥面AEO,故BC⊥AE

（II）方法一：连接PE，因为面BCD⊥面ABC，DC⊥BC

所以DC⊥面ABC，而EO

DC

所以EO
PA，故四边形APEO为矩形

易证PE⊥面BCD,连接EF,则
PFE为PF与面DBC所成的角，即
PFE=

在Rt△ PEF中，因为PE =AO=
BC,故EF=
BC,

因为BC=DC,所以EF=
DC,又E为BD的中点，

所以F为BC的中点

方法二：以BC的中点O为原点，OA所在的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，

OE所在的直线为z轴建立空间坐标系，不妨设BC=2，则
,设
，

则

而平面BCD的一个法向量
，则由

，

解得y＝0，故F为BC的中点.

19.（本小题满分12分）

等差数列
中，
，前
项和为
，等比数列
各项均为正数，
，

公比为
,且
，
．

（1）求
与
；

（2）证明：
．

解析：（I）由已知可得
得
或
（舍去），
；…4分

；………………6分

（2）

证明：
；……………………8分

；……………………10分

故
；……………………12分

▲

（本题满分13分）

已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，



（1）求证：

；

（2）
；

（3）设
为
中点，在
边上找一点
，使
//平面
并求
.

解：（1）证明∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形， ∴BA，BC，BB1两两垂直。 ……………2分

以BA，BC，BB1分别为
轴建立空间直角坐标系，则N（4,4,0），B1（0, 8,0），C1（0,8,4），C（0,0,4）∵
=（4,4,0）·（-4,4,0）=-16+16=0
=（4,4,0）·（0,0,4）=0 ∴BN⊥NB1，BN⊥B1C1且NB1与B1C1相交于B1，∴BN⊥平面C1B1N； ………… 4分

（II）设
为平面
的一个法向量，则

则

（III）∵M（2,0,0）.设P(0,0,a)为BC上一点,则
, ∵MP//平面CNB1,

∴

又
,

∴当PB=1时MP//平面CNB1

▲

（本题满分14分）

已知定点
，
，动点
到定点
距离与到定点
的距离的

比值是
.

（Ⅰ）求动点
的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；

（Ⅱ）当
时，记动点
的轨迹为曲线
.

①若
是圆
上任意一点，过
作曲线
的切线，切点是
，求
的取值范围；

②已知
，
是曲线
上不同的两点，对于定点
，有
.试问无论
，
两点的位置怎样，直线
能恒和一个定圆相切吗？若能，求出这个定圆的方程；若不能，请说明理由

解（Ⅰ）设动点
的坐标为
，则由
，得
，

整理得:
.

，

当
时，则方程可化为：
，故方程表示的曲线是线段
的垂直平分线；

当
时，则方程可化为
，即方程表示的曲线是以
为圆心，
为半径的圆. ……………5分

（Ⅱ）当
时，曲线
的方程是
，

故曲线
表示圆，圆心是
，半径是
.

①由
，及
有：

两圆内含，且圆